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Páginas: 11 (2544 palavras) Publicado: 29 de janeiro de 2015
Estado Plano de Tensão
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Estado Plano de Tensão num espaço contínuo
Na mecânica de meios contínuos, diz-se que um material está sob o Estado Plano de Tensão quando o vector de tensão normal a uma superfície particular é zero. Quando esta situação ocorre sobre um elemento de estrutura inteiro, como é o caso de placas finas, a análise de tensõessimplifica-se consideravelmente, já que o estado de tensão pode ser representado por um tensor de dimensão 2 (apresentável através de uma matriz de 2 × 2 em vez de uma matriz 3 × 3).1 Uma noção relacionada, estado plano de deformação, é também aplicável em membros muito espessos.

O estado plano de tensão ocorre tipicamente em placas finas que são sujeitas apenas a forças de carga paralelas a elas. Emcertas situações, uma placa ligeiramente curvada pode ser assumida como tendo estado plano de tensão para propósitos de análise de tensões. Este é o caso, por exemplo, de um cilindro de paredes finas ocupado por um fluido sob pressão. Em tais casos, as componentes de tensão perpendiculares à placa são negligenciáveis quando comparadas com aquelas que são paralelas à mesma.1

Em outras situações,contudo, a tensão de flexão de uma placa fina não pode ser desprezada. A análise pode ser simplificada através do uso de um domínio bidimensional, mas o tensor de estado plano de tensão para cada ponto deve ser complementado com os termos de flexão.

Índice [esconder]
1 Definição matemática
2 Equações constitutivas
3 Estado Plano de Tensão em superfícies curvas
4 Estado Plano de Deformação5 Transformação da tensão em estado plano de tensão e estado plano de deformação
6 Referências
Definição matemática[editar | editar código-fonte]
Matematicamente, a tensão em qualquer ponto do material está em estado plano de tensão se uma das três tensões principais (os valores próprios do tensor das tensões de Cauchy) é zero, isto é, o tensor de tensões no sistema de coordenadas cartesianoé,

\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & 0 & 0 \\
0 & \sigma_{22} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\equiv
\begin{bmatrix}
\sigma_{x} & 0 & 0 \\
0 & \sigma_{y} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
Por exemplo, considere-se um bloco de material rectangular medindo 10, 40 e 5 cm segundo x, y e z e que está a ser esticado na direcção x e comprimido na direcçãoy por pares de forças opostas com magnitude 10 N e 20 N, respectivamente, uniformemente distribuídas pelas faces correspondentes. O tensor de tensões do bloco seria de,

\sigma =
\begin{bmatrix}
500\mathrm{ Pa} & 0 & 0 \\
0 & -4000\mathrm{ Pa} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
.
Mais genericamente, se se escolhem as duas primeiras coordenadas arbitrariamente masperpendiculares à direcção de tensão zero, o tensor de tensões terá a forma,

\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & 0 \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\equiv
\begin{bmatrix}
\sigma_{x} & \tau_{xy} & 0 \\
\tau_{yx} & \sigma_{y} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
e poderá portanto ser representada em forma de matriz 2 × 2,\sigma_{ij} =
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} \\
\sigma_{21} & \sigma_{22}
\end{bmatrix}
\equiv
\begin{bmatrix}
\sigma_{x} & \tau_{xy} \\
\tau_{yx} & \sigma_{y}
\end{bmatrix}.
Equações constitutivas[editar | editar código-fonte]
Ver artigo principal: Lei de Hooke
Estado Plano de Tensão em superfícies curvas[editar | editar código-fonte]
Em certos casos, o modelo de estadoplano de tensão pode ser usado na análise de superfícies ligeiramente curvas. Por exemplo, considere-se um cilindro de paredes finas sujeito a uma força de compressão axial distribuída uniformemente ao longo do seu aro, estando este ocupado por um fluido pressurizado. A pressão interna gerará uma tensão cilíndrica na parede, uma tensão de tracção normal directamente perpendicular ao eixo do...
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