Circuitos eletricos

Prof. Rodrigo Contieri

(Complementação)

Mec. Geral FAC 3 1o SEM 2011

Regra de Cramer para a solução de um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas.
Consideremos um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas, na sua forma genérica: a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3 ....................................................= ... ....................................................= ... an1x1 + an2x2 + an3x3 + ... + annxn = bn onde os coeficientes a11, a12, ..., ann são números reais ou complexos, os termos independentes b1, b2, ... , bn , são números reais ou complexos e x1, x2, ... , xn são as incógnitas do sistema nxn. Pensando no exemplo citado em sala de aula, ou dos problemas que abrangem o escopo do curso, os coeficientes seriam os módulos das forças em cada direção (x, y, z), os termos independentes os valores das forças já conhecidas, e as incógnitas nossas forças a serem determinadas. Como exercício, faça uma comparação! Seja ∆ o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.

Seja

∆

xi o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo a coluna dos

coeficientes da incógnita xi ( i = 1, 2, 3, ... , n), pelos termos independentes b1, b2, ... , bn.

A regra de Cramer diz que:
Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujo denominador é o determinante ∆ dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante ∆ xi, ou seja: xi = ∆ xi / ∆

OBS: É importante ressaltar que somente matrizes quadradas (2x2, 3x3,4x4,...,NxN; possuem determinantes)

Prof. Rodrigo Contieri
Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer: x + 3y - 2z = 3 2x - y + z = 12 4x + 3y - 5z = 6 Teremos:

,

Matriz sem a substituição dos termos independentes.

,

Matriz com a substituição dos termos independentes na 1ª coluna.