Chema

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Módulo ou Valor Absoluto nos Reais

Definição
Seja x є R ; definimos o módulo de x , como sendo

 x, x  0

x 

  x, x  0

Propriedades :
1)

2)

3)

4) Módulo visto como uma distância :
Exemplos :
a) x  9  x = 9 ; S = { -9,+9}

-9

0

+9

Observe que -9 e +9 são eqüidistantes da origem ; ou seja , resolver a equação modular acima é determinar quais os números que distam da origem 9 unidades .
Conclusão : x

representa na reta real a distância de x até a origem .

b) x  4  7  x-4 =7 ou x-4 = -7  x = 11 ou x = -3 ; S = { -3 , 11 }.

-3
Observe que -3

4

11

e 11 são equdistantes de 4 .

1

2
Conclusão : x  a representa a distância de x ao valor a na reta real .

4) { x є R/ x < a ( a >0 ) } = [ -a , + a ]

-a

0

+a

5 ) { x є R/ x > a ( a >0 ) } = ] - ∞ , -a ]  [ a , + ∞ [

0

-a

a

6) { x є R/ x  a < k (k > 0 ) = ] a – k , a + k [

7) x 

x 2 para todo x real

7) Desigualdade Triangular

x  y  x  y ; x, y  R
Quando ocorre a igualdade ?
8)

a  b  a  b ; a, b  R

Quando ocorre a igualdade ?
9) Um subconjunto A de

é dito limitado, se existe um número L>0 de modo que

2

3
EXERCÍCIOS DE REVISÃO

1) Resolva nos reais :
a) 2 x  3  8
b)

(7 x  2) 2  6
2

c) (3 x  2) 

(5x  9) 2

d) 8 x  5  5
e) 8 x  5  5
f) 8 x  5  5
g) 8 x  5  5
h) 8 x  5  5
i)

(3 x  7) 2  5 ( x  2) 2  3

j)

(3 x  7) 2  5 ( x  2) 2  3
2

2

k) 2 x  3 x  7  8 x  2  2 x  11x  5

Vizinhança

Furada nos Reais

Definição
Sejam a Є R e δ Є R* . Definimos a vizinhança furada de centro a e raio δ , o conjunto

V * ( a,  )   x  R / 0  x  a  

  a   , a    .

Observe que d(x,a) < δ com x ≠ a em R é a vizinhança furada .

δ

a-δ

x

x

a

3

a+δ

R

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Ponto de Acumulação nos Reais
Definição
Sejam a Є R e A  R .Dizemos que a é ponto de acumulação de A se e somente se toda