Centro de gravidade

D-1

Apˆndice D e

Propriedades Geom´tricas de Se¸˜es e co Transversais
D.1 Momento Est´tico a

Considere uma superf´ plana de ´rea A e dois eixos ortogonais x e y de seu plano mostrados na Figura ıcie a D.1. Seja dA um elemento diferencial de ´rea da superf´ a ıcie, o qual est´ genericamente posicionado com a rela¸˜o ao sistema de referˆncia adotado. ca e

Figura D.1: Elemento de ´rea dA numa area plana A. a ´ Define-se o momento est´tico de um elemento de area dA com rela¸˜o aos eixos x e y, respectivamente, a ´ ca como dMsx = ydA, dMsy = xdA. (D.1) (D.2)

Por sua vez, o momento est´tico ou momento de primeira ordem da ´rea A com rela¸ao aos eixos x a a c˜ e y s˜o obtidos somando-se a contribui¸˜o dos momentos est´ticos de cada elemento diferencial dA da a ca a se¸˜o. Logo, os momentos est´ticos s˜o dados pelas seguintes integrais ca a a Msx = Msy =
A

ydA,
A

(D.3) (D.4)

xdA.

Supondo que as dimens˜es da se¸˜o estejam indicadas em cm, a unidade dos momento est´ticos Msx e o ca a 3. a Msy s˜o cm

D.2. Centro de Gravidade

D-2

Exemplo D.1 Determinar os momentos est´ticos Msx e Msy a D.2(a).

para a superf´cie ilustrada na Figura ı

(a) Sistema de referˆncia na base. e

(b) Sistema de referˆncia no CG. e

Figura D.2: Elementos de ´rea numa se¸˜o retangular. a ca Inicialmente, calcula-se o momento est´tico em rela¸˜o ao eixo x. Para isso, utiliza-se (D.1) com o a ca elemento de area dA = bdy ilustrado na Figura D.2(a). A partir da express˜o (D.1) vem que ´ a h Msx =

ydA = b
A 0

b bh2 . ydy = y 2 |h = 2 0 2 h 2b hb2 x |0 = . 2 2

(D.5)

O momento est´tico Msy ´ obtido empregando (D.2) com o elemento de ´rea dA = bdx. Logo a e a b Msy =

xdA = h
A 0

xdx =

(D.6)

a c˜ Exemplo D.2 Determinar os momentos est´ticos Msx e Msy do retˆngulo da Figura D.2(b) em rela¸ao a aos eixos x e y que passam ao longo do centro de gravidade da se¸ao. c˜ O procedimento ´ an´logo ao do exemplo anterior devendo-se mudar