Cardinalidade

Cardinalidade do Conjunto dos Números Racionais e dos Números Reais
INTRODUÇÃO
O criador da Teoria dos Conjuntos foi o matemático Georg Cantor (1845-1918). Em 1868, Cantor conseguiu um cargo docente na Universidade de Halle onde passou a se interessar por problemas ligados às chamadas séries trigonométricas. Essas séries ocuparam a atenção dos mais eminentes matemáticos durante todo o século XIX; e seu estudo, pelos muitos desdobramentos, foi o impulso mais significativo para o progresso da Análise Matemática durante maior parte do século. Através de suas investigações nesse domínio, Cantor foi levado, naturalmente, a se preocupar com o desenvolvimento de uma teoria dos números reais e a criar a Teoria dos Conjuntos. Isso ocorreu porque ele teve de considerar funções que possuíssem descontinuidades. Passando a considerar descontinuidades em um número infinito de pontos, Cantor penetrou num território novo – o dos conjuntos infinitos. Ao mesmo tempo uma análise minuciosa dos números se fez necessária, o que exigia um estudo cuidadoso dos números reais – racionais e irracionais.
O QUE É INFINITO? Ao longo de toda a história do conhecimento, a ideia de uma coleção infinita de objetos sempre causou dificuldades tanto a matemáticos como a filósofos. Na opinião de muitos sábios, desde Aristóteles, o infinito é algo que só pode ser considerado como possibilidade, mas não como conceito completo e acabado. Quando dizemos que existem infinitos números naturais, isso para Gauss é apenas uma “maneira de falar”; queremos tão somente exprimir o fato de que quando consideramos qualquer conjunto finito de números naturais existe sempre algum número natural fora desse conjunto. Desta maneira estamos expressando a “infinidade” dos números na sua potencialidade, sem precisarmos do conceito atual, completo e acabado de infinito.
CARDINALIDADE DE UM CONJUNTO Define-se a cardinalidade de um conjunto, como o número de elementos que pertencem ao conjunto. Um dos