Cap3 2013 14 Determinantes 36 50

Álgebra Linear - 2013/2014 - Cap. 3 - Determinantes

36

Determinantes
Permutações
Seja n 2 N. Uma permutação p = (p1 ; p2 ; : : : ; pn ) dos elementos do conjunto f1; 2;

; ng

é um arranjo dos n números em alguma ordem, sem repetições ou omissões. Denota-se por
Sn o conjunto de todas as permutações do conjunto f1; 2;

conjunto tem n! = n

(n

aplicação bijectiva de f1; 2; permutação identidade.

1)

(n

2)

:::

; ng em f1; 2;

2

; ng. É fácil veri…car que este

1 elementos. (Note-se que p é uma

; ng). À permutação (1; 2; : : : ; n) chama-se

Considerando uma permutação p, chama-se paridade da permutação à paridade do número de trocas que é necessário efectuar em p para voltar a pôr os números na ordem inicial. Esse número não é único, mas a sua paridade é sempre a mesma. Diz-se que a permutação é par se o número de trocas for par e ímpar se o número de trocas for ímpar.
De…ne-se o sinal de uma permutação p; sgn (p) ; da seguinte forma:
(
+1 se p é par sgn (p) =
1 se p é ímpar
Claramente, a permutação identidade tem sinal +1 e qualquer permutação que só troque dois números tem sinal 1:
Alternativamente a paridade da permutação pode ser encontrada da seguinte forma:
Diz-se que ocorre uma inversão na permutação sempre que um número maior precede um menor. O número total de inversões que ocorre numa permutação p = (p1 ; p2 ; : : : ; pn ) calcula-se do seguinte modo:
1) Contam-se os números menores que p1 que estão à sua frente na permutação.
2) Contam-se os números menores que p2 que estão à sua frente na permutação.
3) Continua-se esta contagem para p3 ; : : : ; pn 1 :
4) Somam-se os números obtidos em cada passo, o que dá o número total de inversões. Como o número total de inversões corresponde a um possível número de trocas para transformar a permutação na identidade, a paridade desse número é a paridade da permutação.
Exemplos:
1. A permutação identidade (1; 2; : : : ; n) tem sinal mais +1; pois efectuam-se 0 trocas.
2. Qualquer permutação que só troque dois