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Terceira Lista de Exerc´ ıcios de C´lculo - S´ries de Potˆncia a e e Cursos: F´ ısica e Engenharia de Alimentos
1. Determine o raio de convergˆncia e o intervalo de convergˆncia das seguintes s´ries de e e e potˆncia: e ∞

(−1)n

(a) n=1 ∞

2n xn n3n (2x − 1)

∞

n(x − 2)

(f)

n=0

(d)

n=1

∞ n/2 ∞

n 3 xn

(c)

n=0

∞

(e)

∞

n ! xn

(b)

n

(g)

n=1

n=1

n=0

(−2)n xn
√
4 n n 3n+5 x en

∞

n!(2x − 1)n

(h) n=1 2. Determine as s´ries de Taylor das seguintes fun¸oes, em torno do ponto x◦ dado: e c˜
(a) f (x) = cos(x), x◦ = 0

(b) f (x) = e−2x , x◦ = 0

(d) f (x) = ln(x), x◦ = 1

(e) f (x) = (1 + x)−2 , x◦ = 0

(c) f (x) = cos(3x), x◦ = 0

1

cos(x3 )dx, com precis˜o de 3 casas a 3. Use s´ries para aproximar a integral definida e 0

decimais.
4. Polinˆmios de Taylor: Se f , f , f , . . . , f (n+1) s˜o de classe C n+1 em |x − a| < R, o a ent˜o a f (x) = Pn (x) + Rn (x), n onde Pn (x) = k=0 f (k) (a)(x − a)k e Rn (x) ´ o resto dado por e k! x Rn (x) = a f (x+1)
(x − t)n dt n! ou

lim

Rn (x)
= 0.
− a)n

x→a (x

O polinˆmio Pn (x) ´ chamado n-´simo polinˆmio de Taylor de f em torno de a, e o termo o e e o
Rn (x) ´ o resto da s´rie de Taylor. e e
(a) Considere a fun¸˜o f (x) = sen(x) e a = 0. Determine o polinˆmio de Taylor de f de ca o grau P2n+1 .
(b) Usando o item anterior, calcule sen(2) com um erro menor que 10−4 .
(c) Determine o polinˆmio de Taylor P2n da fun¸ao f (x) = cos(x) no ponto a = 0. o c˜
(d) Usando o item anterior, calcule cos(1) com erro menor que 10−5 .
5. Obtenha uma s´rie binomial para cada fun¸˜o e indique o raio de convergˆncia: e ca e √
√
(a) f (x) = 1 + x
(b) f (x) = 1 − x3
(c) f (x) = (1 + x)−2
6. Ache um valor aproximado para as seguintes integrais definidas usando o exerc´ indiıcio cado, com precis˜o de 3 casas decimais: a 1/2 √
(a)
1 + x3 dx
(item (a) do