calculo

Ensino Superior

Cálculo 3
9. Integrais Duplas
Coordenadas Polares
Amintas Paiva Afonso

Mudança de Variáveis em Integrais
Duplas
Através de uma mudança de variáveis

x = x(u, v) e y = y(u, v) uma integral dupla sobre uma região D do plano xy pode ser transformada numa integral dupla sobre uma região D ’ do plano uv.

Mudança de Variáveis em Integrais
Duplas
A correspondência entre as regiões D’ e D é
BIJETORA, e podemos retornar de D para D’ através da transformação inversa

u = u(x, y) e v = v(x, y).
Considerando que as funções em (1) e (2) são contínuas, com derivadas parciais contínuas em
D ’ e D, respectivamente, temos
(3)

Mudança de Variáveis em Integrais
Duplas
Onde

é o determinante jacobiano de x e y em

relação a u e v, dado por

Mudança de Variáveis em Integrais
Duplas
A transformação que leva pontos (r, ) do plano r a pontos (x, y) do plano xy é dada por
(4)

e seu jacobiano é dado por
Portanto, a fórmula (3) pode ser expressa por:
(5)

Coordenadas Polares
Obtenção da Fórmula
Para que (4) seja bijetora, considera-se r para os quais r e  satisfazem:

Coordenadas Polares
Área A’ do retângulo em D’

Área A do retângulo polar em D

Coordenadas Polares

Coordenadas Polares

Coordenadas Polares

dA = dxdy = rdrd

x2

x2 y2

2 r 2

V  A( x)dx  
. f ( x, y )dydx  
. f (r , )rdrd  x1 x1 y1

1 r1

Coordenadas Polares
Integral Dupla em D’
Assim, obtemos o jacobiano rk da fórmula (5).
Enumerando os retângulos polares e 1 a n, tome um ponto arbitrário
(xk , yk) no k-ésimo retângulo. Este ponto pode ser representado por
(rk cosk , rk sink) que tem representação (rk , k) referente à região correspondente em
D’. Assim, a soma de Riemann é equivalente a onde A'k = rkk é a área do k-ésimo retângulo em D’.

Coordenadas Polares
Assim, se tomarmos limite com n   com o máximo das diagonais dos n retângulos tendendo a zero, temos

que equivale a integral dada pela fórmula (5).

Coordenadas Polares y P(x,y) = P(r,)

y r  x x