calculo

Aula 14
Taxas relacionadas. Diferenciais
14.1

Taxas relacionadas

Na linguagem do c¶alculo diferencial, se uma vari¶avel u ¶e fun»c~ao da vari¶avel v, a taxa du de varia»c~ao (instant^anea) de u, em rela»c~ao a v, ¶e a derivada
.
dv
Em v¶arias problemas de c¶alculo, duas ou mais grandezas vari¶aveis est~ao relacionadas entre si por uma equa»c~ao. Por exemplo, na equa»c~ao v1 =v2 = (sen µ1 )=(sen µ2 ), temos quatro vari¶aveis, v1 , v2 , µ1 e µ2 , relacionadas entre si.
Se temos vari¶aveis, digamos u, v e w, relacionadas entre si por uma equa»c~ao, podemos ainda ter as tr^es como fun»c~oes de uma u¶nica vari¶avel s. Por deriva»c~ao impl¶³cita, ou µas vezes, por deriva»c~ao em cadeia, podemos relacionar as v¶arias derivadas du
, dv e ds ds dw du dv
, ou ainda, por exemplo, dv , dw , etc. Problemas em que duas ou mais grandezas ds vari¶aveis est~ao inter-relacionadas, e nos quais s~ao levadas em conta as taxas de varia»c~oes instant^aneas, de algumas grandezas em rela»c~ao a outras, s~ao chamados, na literatura do c¶alculo, de problemas de taxas relacionadas.
Exemplo 14.1 Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura H e raio do topo circular igual a R. Encontrando-se inicialmente vazio, o tanque come»ca a encher-se de ¶agua, a uma vaz~ao constante de k litros por minuto. Exprima a velocidade com que sobe o n¶³vel da ¶agua (dh=dt), em fun»c~ao da profundidade h. Com que velocidade a
¶agua sobe no instante em que h = 0 ?
Solu»c~ao. O volume da ¶agua quando esta tem profundidade h ¶e dado por V = 31 ¼r2 h, sendo r o raio da superf¶³cie (circular) da ¶agua. Veja ¯gura 14.1.
Sendo R o raio do topo da caixa, e H sua altura, por raz~oes de semelhan»ca de tri^angulos, temos r=R = h=H, da¶³ r = Rh=H.

117

118

Taxas relacionadas. Diferenciais

R

R

H

r

H

r

h

h

Figura 14.1.
Assim sendo, obtemos
1
V = ¼
3

µ

Rh
H

¶2

h=

¼R2 3 h 3H 2

A taxa de varia»c~ao do volume de ¶agua no