calculo

PARTE

C

Análise de
Fourier. Equações
Diferenciais
Parciais (EDPs)
CA P Í T U LO 1 1 Séries, Integrais e Transformadas de Fourier
CA P Í T U LO 1 2 Equações Diferenciais Parciais (EDPs)
A análise de Fourier relaciona-se aos fenômenos periódicos, que ocorrem com bastante freqüência em engenharia e outras aplicações — considere, por exemplo, as peças rotativas de máquinas, as correntes elétricas alternadas ou o movimento dos planetas. As funções periódicas relacionadas a esses fenômenos podem ser complicadas. Tal situação impõe a importante tarefa prática de representar essas funções complicadas por meio de funções periódicas simples, a saber, de senos e cossenos. Essas representações serão as séries infinitas, chamadas de séries de Fourier.1
A criação dessas séries foi um dos eventos mais decisivos da matemática aplicada, e vale dizer que também exerceu uma considerável influência na matemática como um todo, no que se refere ao conceito de função, à teoria da integração, à teoria da convergência das séries etc. (veja a Ref. [GR7] no Apêndice 1).
O Capítulo 11 trata principalmente das séries de Fourier. Entretanto, as idéias subjacentes podem também ser estendidas a fenômenos não-periódicos. Isso leva às integrais e transformadas de Fourier. Um nome comum para toda essa área é análise de Fourier.
O Capítulo 12 trata das equações diferenciais parciais (EDPs) mais importantes da física e da engenharia.
Esta é a área onde a análise de Fourier tem suas aplicações mais fundamentais, relacionadas a problemas de limite e de valor inicial em mecânica, fluxo de calor, eletrostática e outros campos.

1

JEAN-BAPTISTE JOSEPH FOURIER (1768–1830), físico e matemático francês, que viveu e lecionou em Paris, acompanhou Napoleão na
Guerra do Egito e foi posteriormente prefeito de Grenoble. Os tópicos iniciais sobre as séries de Fourier podem ser encontrados nos trabalhos de Euler e de Daniel Bernoulli, porém foi Fourier quem os empregou de um modo