Calculo

Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro Professora Vania C. Machado ´ Lista 01 -Algebra Linear II- 2012/01
Quest˜o 1: Dˆ o n´mero de invers˜es das seguintes permuta¸˜es de 1, 2, 3, 4, 5 : a e u o co Resposta: (a) 3 5 4 1 2 (b) 2 1 4 3 5 (c) 5 4 3 2 1 (d) No determinante de uma matriz 5 × 5, que sinal (negativo ou positivo) precederia os termos a13 a25 a34 a41 a52 e a15 a24 a33 a42 a51 ? Quest˜o 2: Quantas invers˜es tem a permuta¸˜o a o ca ..., n − 1, n? Quest˜o 3: Calcule a  2 0 −1    det  3 0  4 −3 (a) pela defini¸˜o ca (b) em rela¸˜o a segunda coluna, usando o desenvolvimento de Laplace. ca     1 2 3 −1 eB=  , calcule Quest˜o 4: Dadas as matrizes A =  a 1 0 0 1 (a) det A + det B (b) det (A + B) Quest˜o 5: Sejam A e B matrizes n × n. Verifique se as coloca¸oes abaixo s˜o verdadeiras a c˜ a ou falsas. (a) det (AB) + det (BA) (b) det AT = det A (c) det (2A) = 2 det A 1   2   7 n n − 1 ... 2 1 dos n´meros 1, 2, u

(d) det (A2 ) = (det A)2 (e) det Aij < det A (f ) SeA ´ uma matriz 3 × 3, ent˜o e a a11 ∆11 + a12 ∆12 + a13 ∆13 = a21 ∆21 + a22 ∆22 + a23 ∆23

2 3 1 −2      5 3 1 4   calcule Quest˜o 6: Dada A =  a    0 1 2 2    3 −1 −2 4 (a) A23 (b) |A23 | (c) ∆23 (d) det A e Quest˜o 7: Propriedade: O determinante de uma matriz triangular An×n ´ igual ao produto a dos elementos de sua diagonal. Prove este resultado para o caso n = 5. (Sugest˜o: Use o Desenvolvimento de Laplace). a Quest˜o 8: Calcule det A, onde a   3 −1 5 0      0 2 1 1    (a) A =    2 0 −1 3    1 1 2 0   i 3 2 −i      3 −i 1 i   (b) A =     2 1 −1 0    −i i 0 1





2

3 0 0 0 0    19 18 0 0 0   (c) A =  −6 π −5 0 0  √ √   4 2 3 0 0  8 3 5 6 −1



          

3