Calculo
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LIMITES:Propriedades e Continuidade
Disciplina: Cálculo 1
Professora: Nadjara Paixão
LIMITES – Propriedades
Propriedades dos Limites
Se 𝑎, 𝑚 e 𝑛 são números reais, então
𝑙𝑖𝑚 (𝑚𝑥 + 𝑛) = 𝑚𝑎 + 𝑛, ou seja, substitui o 𝑥 pelo valor
𝑥→𝑎
de 𝑎
Exemplo:
𝑙𝑖𝑚(2𝑥 + 3)
𝑥→2
Se 𝑐 é um número real qualquer, então
a) 𝑙𝑖𝑚 𝑐 = 𝑐
𝑥→𝑎
𝑙𝑖𝑚 5 =
𝑥→8
OBS: Limite de uma constante, ∀𝑥 ∈ 𝑅, será sempre a própria constante.
b) 𝑙𝑖𝑚 𝑥 = 𝑎, ou seja, substitui o 𝑥 por 𝑎, 𝑙𝑖𝑚 𝑥 =
𝑥→𝑎
𝑥→3
LIMITES – Propriedades
Se 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) e 𝑙𝑖𝑚 𝑔 𝑥 existem, sendo 𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑥 = 𝐿 e
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑙𝑖𝑚 𝑔 𝑥 = 𝑀 e 𝑐 é um número real qualquer, então
𝑥→𝑎
a)
𝑙𝑖𝑚 [𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ] = 𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑥 ± 𝑙𝑖𝑚 𝑔 𝑥 = 𝐿 ± 𝑀
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑙𝑖𝑚 𝑥 3 + 𝑥 2 − 3 =
EX:
𝑥→3
b) 𝑙𝑖𝑚 𝑐. 𝑓(𝑥) = 𝑐. 𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑥 = 𝑐. 𝐿
𝑥→𝑎
EX:
𝑥→𝑎
𝑙𝑖𝑚 4𝑥 5 =
𝑥→−1
𝑥→𝑎
LIMITES – Propriedades
c)
𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑥 . 𝑙𝑖𝑚 𝑔 𝑥 = 𝐿. 𝑀
𝑥→𝑎
𝑥→−1
𝑓 𝑥
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎 𝑔 𝑥
𝑙𝑖𝑚
EX:
e)
EX:
𝑥→𝑎
𝑙𝑖𝑚 (𝑥 5 +2). 𝑥 − 1 =
EX:
d)
𝑥→𝑎
2
=
𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑥
𝑥→𝑎
𝑙𝑖𝑚 𝑔 𝑥
𝑥→𝑎
𝑥 4 +𝑥 2 −1
𝑥→0
𝑥 2 +5
=
𝐿
,
𝑀
desde que 𝑀≠ 0
=
𝑙𝑖𝑚 [𝑓 𝑥 ] 𝑛 = [𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑥 ] 𝑛 = 𝐿
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑙𝑖𝑚 (𝑥 2 − 2𝑥 − 5)5 =
𝑥→−1
𝑛
,∀ 𝑛∈ 𝑅
LIMITES – Propriedades
𝑙𝑖𝑚
f)
𝑛
𝑓(𝑥) =
𝑥→𝑎
𝑛
𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑥 =
𝑥→𝑎
𝑛
𝐿
(i) se 𝑛 é um número inteiro positivo par, 𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑥 =
𝑥→𝑎
𝐿≥0
(ii) se 𝑛 é um número inteiro positivo ímpar,
𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑥 = 𝐿 ∈ 𝑅
𝑥→𝑎
EX1:
EX2:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
3
4𝑥 2 − 3 =
𝑙𝑖𝑚 −𝑥 − 7 =
𝑥→1
LIMITES – Propriedades
g)
𝑙𝑖𝑚 ln[𝑓 𝑥 ] = ln[𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑥 ] = ln(𝐿), se 𝐿 0
𝑥→𝑎
EX:
𝑙𝑖𝑚 ln(𝑥 4 ) =
𝑥→𝑎
𝑥→−1
h) 𝑙𝑖𝑚 𝑐𝑜𝑠 [𝑓 𝑥 ] = cos[𝑙𝑖𝑚