Calculo

Comprimento de arco
Introdução
Como obtemos o comprimento de uma curva? Podemos colocar um pedaço de barbante sobre a curva e medir comprimento de barbante com uma régua. Mas isto pode ser difícil de fazer com muita precisão se tivermos uma curva complicada. Se a curva for poligonal (isto é, um conjunto de segmentos de reta consecutivos e não pertencentes à mesma reta.), podemos facilmente encontrar seu comprimento, somando os comprimentos de um arco de uma curva. Definimos o comprimento de uma curva geral aproximando-a por uma poligonal e então tomando o limite quando o número de segmentos da poligonal aumenta. Esse processo é familiar para o caso de um círculo, onde a circunferência é o limite dos comprimentos dos polígonos inscritos. Seja F uma função contínua no intervalo fechado [a,b]. Considerando o gráfico dessa função definida pela relação y=(x) a parte da curva do ponto A (a, f(a)) ao ponto B (b, (f(b)) é chamada de arco). Se o arco for um segmento de reta do ponto (x1, y1) ao ponto (x2,y2) da formula da distância entre dois pontos sabemos que seu comprimento será dado por . Usando essa formula para definir, em geral, o comprimento de um arco.

Definição
Suponhamos que a função f seja contínua no intervalo fechado [a,b] seja verdade que:
Se < δ então | | Pi – 1Pi | - L | < ϵ
Assim, escrevemos:
L = | Pi – 1Pi | e L é chamado de comprimento do arco da curva y= f(x) do ponto A(a ,f(a)) ao ponto B(b,f(b)).
Teorema 1
Se a função f e sua derivada F´ forem contínuas no intervalo fechado de [a, b], então o comprimento do arco da curva y = f(x) do ponto (a, f(a)) ao ponto (b, f(b)) será dado por:
L = dx
Também temos o teorema a seguir, que dá o comprimento do arco de uma curva quando x é expressa como uma função de y.

Teorema 2
Se a função g e sua derivada g´ forem contínuas no intervalo fechado [c, d], então o comprimento do arco da curva x = g(y) do ponto (g(c), c) ao ponto (g