Calculo

Capítulo 12

1.

Ângulo entre duas retas no espaço

Definição 1
O ângulo ∠(r1 , r2 ) entre duas retas r1 e r2 é assim definido:
• ∠(r1 , r2 ) = 0o se r1 e r2 são coincidentes,
• se as retas são concorrentes, isto é, r1 ∩ r2 = {P }, então ∠(r1 , r2 ) é o menor dos ângulos positivos determinados pelas retas no plano que as contém.
Em particular, 0o < ∠(r1 , r2 ) ≤ 90o .

Fig. 1: Retas concorrentes: θ = ∠(r1 , r2 ) < ϕ.

• se r1 ∩ r2 = ∅, temos duas situações a considerar:
◦ se r1

r2 , então ∠(r1 , r2 ) = 0o .

◦ se r1 e r2 não são paralelas e não se intersectam, dizemos que as retas são reversas. Neste caso, seja P ∈ r1 e seja r2 a paralela a r2 que passa por P .
Então as retas r1 e r2 são concorrentes e definimos
∠(r1 , r2 ) = ∠(r1 , r2 )

Fig. 2: Retas reversas: θ = ∠(r1 , r2 ).

Geometria Analítica - Capítulo 12

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Além disso, pelo paralelismo, ∠(r1 , r2 ) independe do ponto P escolhido.
A medida dos ângulos pode ser dada em graus ou radianos.
→
→
Sejam v1 e v2 vetores paralelos às retas concorrentes (ou reversas) r1 e r2 , respectivamente. Então,
→ → cos ∠(r1 , r2 ) = | cos ∠(v1 , v2 )| =

→ → v1 , v2 o o
→
→ , 0 < ∠(r1 , r2 ) ≤ 90 v1 v2

→ →
→ →
Pois ∠(v1 , v2 ) = ∠(r1 , r2 ) ou ∠(v1 , v2 ) = 180o − ∠(r1 , r2 ).

Fig. 3: ∠(r1 , r2 ) = θ.

A fórmula vale também quando r1 e r2 são paralelas ou coincidentes, isto é, quando ∠(r1 , r2 ) = 0o , pois
→
→ v1 = λv2 ⇒

→ → λv2 , v2
→
→ λv2 v2

→ → v2 , v2
=
→
→
|λ| v2 v2 |λ|

= 1 = cos 0o = cos ∠(r1 , r2 ) .

Exemplo 1
Calcule o ângulo entre as retas r1 :

x−1 y +1 z =
=
2
2
2

e

r2 : x + 2 =

y −1 z−2 =
.
2
3

Mostre, também, que essas retas são reversas.
Solução.
→
Temos que v1 = (2, 2, 2)
IM-UFF

→ r1 e v2 = (1, 2, 3)

r2 . Logo,
K. Frensel - J. Delgado

Geometria Analítica - Capítulo 12

201

cos ∠(r1 , r2 ) =
=

→ → v1 , v2
→
→ v1 v2

|2 + 4 + 6|
√
12 14

= √

12
√
=
12 × 14