calculo resumo

MAT 001 - C´alculo I
Aula X

1

Introdu¸ c˜ ao

Nesta aula, continuaremos a ver aplica¸c˜oes da derivada.
Conte´
udos a serem vistos:
• O Teorema de Rolle e o Teorema do Valor M´edio de Lagrange;
• Teste da Derivada Primeira;
• Concavidade e Pontos de Inflex˜ao;
• Teste da Derivada Segunda;
• Aplica¸c˜ oes em problemas de maximiza¸c˜ao e minimiza¸c˜ao.

2

Teoremas Importantes

Teorema 1 (Rolle). Se f ´e uma fun¸c˜ ao cont´ınua em um intervalo fechado e limitado [a, b] e deriv´ avel no intervalo aberto correspondente (a, b) e f (a) = f (b), ent˜ ao existe pelo menos um ponto cr´ıtico c ∈ (a, b), isto ´e, f (c) = 0.
Demonstra¸c˜
ao:

1

Figura 1: Teorema de Rolle

Como generaliza¸c˜ ao do Teorema de Rolle obtemos:
Teorema 2 (Teorema do Valor M´edio de Lagrange).
Se f ´e uma fun¸c˜ ao cont´ınua em um intervalo fechado e limitado [a, b] e deriv´ avel no intervalo aberto correspondente (a, b), ent˜ ao existe pelo menos um ponto c ∈ (a, b) tal que f (b) − f (a) f (c) = b−a Demonstra¸c˜ ao: 2

Figura 2: Teorema de Lagrange

3

3

Principais Consequˆ encias do Teorema do Valor M´ edio de Lagrange

Teorema 3. Seja f ´e uma fun¸c˜ ao cont´ınua em um intervalo fechado e limitado
[a, b] e deriv´ avel no intervalo aberto correspondente (a, b).
(i) Se f (x) > 0; ∀x ∈ (a, b), ent˜ ao f ´e crescente em [a, b].
(ii) Se f (x) < 0; ∀x ∈ (a, b), ent˜ ao f ´e decrescente em [a, b].
Demonstra¸c˜
ao:

4

Figura 3:

Figura 4:

5

4

Teste da Derivada Primeira

Teorema 4. Seja f uma fun¸c˜ ao cont´ınua em [a, b] e deriv´ avel em (a, b) exceto, possivelmente, em um ponto cr´ıtico c ∈ (a, b).
(i) Se f (x) > 0; ∀x ∈ (a, c) e f (x) < 0; ∀x ∈ (c, b), ent˜ ao c ´e um ponto de m´ aximo local de f .

(ii) Se f (x) < 0; ∀x ∈ (a, c) e f (x) > 0; ∀x ∈ (c, b), ent˜ ao c ´e um ponto de m´ınimo local de f .

(iii) Se f (x) > 0; ∀x = c ∈ (a, b) ou f (x) < 0; ∀x = c ∈ (a, b), ent˜ ao c n˜ ao ´
e