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Cálculo de Raízes de Funções

3-1

Cálculo de Raízes de Funções
Introdução
O cálculo de raízes de funções encontra uso na obtenção da solução de uma ampla gama de problemas de engenharia. Usualmente, a forma analítica de problemas matemáticos y = f(x) requer o conhecimento dos valores da variável independente x para os quais f(x) = 0.
Por exemplo, considere a função f(x) = ax2 + bx + c, que é um polinômio de 2o grau com coeficientes a, b, e c e que possui duas raízes. Essas raízes podem ser determinadas pela conhecida fórmula de Baskhara:
− b + b 2 − 4ac x1 =
2a
e x2 =

− b − b 2 − 4ac
2a

Para uma equação particular f(x) = x2 - 5x + 6, temos que a = 1, b = -5 e c = 6, resultando na solução:
− (−5) + (−5) 2 − (4).(1).(6) 5 + 1 x1 =
=
=3
(2).(1)
2 x2 =

− (−5) − (−5) 2 − (4).(1).(6) 5 − 1
=
=2
(2).(1)
2

Substituindo-se o valor das raízes na expressão de f(x) = x2 - 5x + 6, veremos que tanto x1, quanto x2 fazem com que esta função se anule, ou seja, que f(x1) = 0 e f(x2) = 0.
As equações polinomiais também conduzem a soluções cujo domínio seja o dos números complexos. Por exemplo, a equação de 2o grau f(x) = x2 - 2x + 2 apresenta as seguintes raízes: x1 =

− ( −2) + ( −2) 2 − (4).(1).(2) 4 + − 4 4 + 2 − 1
=
=
= 2+i
( 2).(1)
2
2

− ( −2) − ( −2) 2 − (4).(1).(2) 4 − − 4 4 − 2 − 1 x2 =
=
=
= 2−i
(2).(1)
2
2
sendo que i = − 1 .
Na prática, nem sempre um problema pode ser equacionado na forma de uma função que possui uma solução analítica como a função de 2o grau. As funções transcendentes, por exemplo, não possuem fórmula analítica para o cálculo das raízes. Nesses casos, pode-se calcular as raízes através de dois métodos:

Cálculo Numérico e Computacional

C.Y. Shigue

Cálculo de Raízes de Funções

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3-2

Método gráfico
Métodos numéricos

Nesta nota de aula, trataremos apenas dos métodos para o cálculo de raízes reais, embora os métodos numéricos possam calcular raízes complexas também.