Calculo numérico

Páginas: 14 (3294 palavras) Publicado: 8 de novembro de 2012
Cálculo Numérico

U nidade:
Zero de Funções Reais

Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Ms. Adriana D. Freitas
Revisão Técnica:
Profa. Dr. Jaime Sandro da Veiga
Revisão Textual:
Profa. Ms. Alessandra Cavalcante

U ni dad e : Z e r o d e F un çõ es Re ai s

INTRODUÇÃO À ORIGEM DOS ERROS

A frase atribuída ao matemático alemão David Hilbert (18621943) “Nenhum outro problema afetoutão profundamente o

espírito do homem; nenhuma outra ideia tão fertilmente
estimulou seu intelecto; nenhum outro conceito necessita de
maior esclarecimento do que o infinito” ilustra bem o início
desta unidade de estudo.
Ao efetuarmos operações matemáticas, mesmo que com números naturais
ou inteiros, devemos considerar que nem sempre obtemos resultados exatos, assim
temos de interpretarnúmeros que são finitos, mas que possuem representação
infinita. Por exemplo, a divisão de 1 por 3 (1/3) é finita (está entre 0 e 1), todavia
possui representação no conjunto do números reais com infinitas casas decimais
(0,3333...). Além disso, lidamos também com números que não podem ser
expressos como a divisão de dois números inteiros, são os chamados números
irracionais, o que acarreta emchegarmos a apenas uma representação aproximada
do número em questão.
Com a evolução das tecnologias para fins computacionais, os cálculos
complexos ficaram a cargo de máquinas que estão sendo sempre aperfe içoadas a
fim de aumentar seus recursos. As máquinas operam diversos cálculos, dos mais
simples aos mais complexos, porém por mais complexas que sejam, trabalham
com um número finito derecursos, o que não é suficiente quando lidamos com
números de infinitos dígitos.

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Assim, qualquer cálculo, seja realizado por mãos humanas ou por
máquinas, que envolva números que não possam ser expressos por um número
finito de dígitos, não fornecerá como resultado umvalor exato, mas sim um valor
aproximado; e, quanto maior o número de dígitos utilizados, maior será a precisão
obtida.
É por isso que precisamos aprender a lidar com os erros, ou melhor, com a
margem de erro.
Vejamos dois exemplos
Exemplo 1: A primeira grande crise matemática de que se tem conhecimento foi
quando os pitagóricos se depararam com o problema da diagonal de um
quadrado.Sabemos que a diagonal de um quadrado de lado L qualquer é
calculada pela expressão L√ .
O número irracional √ é um número que não pode ser representado, em
sua forma decimal, com um número finito de dígitos. Assim, qualquer operação
que o envolva estará sujeita a aproximações para sua representação, como por
exemplo:
1,4142 ou 1,4142136 ou ainda 1,4142135623730950488016887242097 .
Por exemplo,na trigonometria, o arco de valor

⁄ possui seno igual a

√ ⁄ , o que nos permite infinitas representações, remetendo -nos a resultados
próximos do exato, mas que não são verdadeiramente exatos:
√⁄

0,7 ;

√⁄

0,7071 ;

√⁄

0,7071067811865 .

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Exemplo 2: Aárea A de uma circunferência, de raio r, é obtida através do cálculo
da fórmula

. Neste caso, para uma circunferência de raio igual a 10m

poderemos obter como área:
A = 314m² ;
A = 314,1592653m² ;
A = 314,159265358979323846 m² .
Como

é um número irracional não teremos um valor exato para o cálculo

da área, mas sim valores aproximados. No primeiro cálculo utilizamos 3,14 (trêsalgarismos significativos para

) e no segundo cálculo, utilizamos 3,141592653

(dez algarismos significativos) e no terceiro 3,1415926535897932384 (vinte
algarismos significativos).
Nenhum dos resultados está incorreto, porém o terceiro está mais preciso
que o segundo, por sua vez está mais preciso que o primeiro, assim quanto maior o
número de dígitos utilizados nos cálculos, maior a...
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