calculo integral

Capítulo 9

EXEMPLOS DIVERSOS
Agradecemos ao Professor Silvio Pinha Gomes do Departameneto de Análise do IME-UERJ, por ceder, gentilmente estes exercícios.

9.1 Limites
[1] Determine o valor da constante a ∈ R para que exista

√
1 + x − (1 + a x) lim x→0 x2 e calcule o limite.
Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão:
√
√
√
1 + x − (1 + a x)
1 + x − (1 + a x) 1 + x + (1 + a x)
1 + x − (1 + a x)2
√
√
=
= x2 x2
1 + x + (1 + a x) x2 ( 1 + x + (1 + a x))
1 − 2 a − a2 x
=x 2 √ x ( 1 + x + (1 + a x)) a2 1 − 2a
√
− √
.
= x ( 1 + x + (1 + a x)) ( 1 + x + (1 + a x))
Logo, a condição necessária para que o limite exista é que a primeira parcela seja nula, isto é,
1
a = ; então:
2
√
−1
1 + x − (1 + a x)
1
lim
= lim √
=− . x→0 x→0 4 ( 1 + x + (1 + a x)) x2 8 sen(x) sen(x) x − sen(x)
[2] Calcule: lim
.
x→0 x Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão: sen(x) = x − sen(x)

sen(x) x . sen(x) 1− x 347

CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

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Fazendo t = 1 − então t → 0 e:

sen(x) sen(x) , temos que 1 − t =
. Por outro lado observamos que se x → 0, x x
1−t
1 sen(x) =
= − 1. x − sen(x) t t

Logo: sen(x) 1
1
−1 sen(x) x − sen(x) t = lim (1 − t) t (1 − t)−1 = e−1 .
= lim (1 − t) lim t→0 t→0 x→0 x [3] Calcule: limπ tg(x)

tg(2x)

x→ 4

.

Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão. Fazendo t = 1 − tg2 (x), temos
√
que tg(x) = 1 − t e
√
2 1−t
2 tg(x)
=
. tg(2 x) =
1 − tg2 (x) t Por outro lado observamos que se x →

limπ tg(x)

tg(2x)

x→ 4

π
, então t → 0 e:
4

√
2 1−t
√
t
= lim 1 − t
= lim t→0 t→0

2
1−t t

√

1−t

= e−2 .

[4] Determine as constantes k, b ∈ R tais que lim x→+∞

kx+b−

x1000 + 1
= 0. x999 + 1

Solução : Primeiramente reescrevamos a expressão: kx+b− Sabemos que lim

x→+∞

x1000 + 1 k x1000 + k x + b x999 + b − x1000 − 1
=
x999 + 1 x999 + 1 x1000 (k − 1) + b x999 + k x + b − 1
=
. x999 + 1

P (x)
= 0 se grau(Q) > grau(P ). Logo, k − 1 = 0 e b = 0, ou seja k = 1 e
Q(x)

b = 0.
[5] Calcule:

lim

x→+∞

x+

x+

√

Solução :