calculo ii

Páginas: 8 (1979 palavras) Publicado: 12 de maio de 2014
INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

AULA

01

26 MAIO 2008

Técnicas de Integração (Primitivação)
uma breve revisão de “Funções de Uma Variável”

Prof. André

01 de37

Técnicas de Integração (Primitivação)
OBJETIVO: Apresentar técnicas para determinar a função F(x) –
conhecida como primitiva – tal que F’(x) = f(x) ou:

 f(x) dx  F(x)
As principais técnicas deprimitivação, conforme visto no curso
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL (BC 0201) são:
– INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL
– INTEGRAÇÃO POR PARTES
– INTEGRAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES
PARCIAIS
– INTEGRAÇÃO UTILIZANDO SUBSTITUIÇÕES (POR MEIO
DE IDENTIDADES) TRIGONOMÉTRICAS
Seguem algum exercícios onde estas técnicas são aplicadas.

02 de37

EXERCÍCIO 01
Calcular

(x2  1)50 2x dx
Solução

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u =

x2

+1

du
 2x
dx

Logo: 2x dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:

(u)50 du

u 51
(x 2  1) 51
 (u) du  51  C  51  C
50

03 de37

EXERCÍCIO 02
Calcular

 sen(x  9) dx

Solução

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = x + 9

du
1
dx

Logo: dx = du

Assim, a integral dada pode serescrita como:

 sen(u)du
 sen(u)du  cos(u) C  cos(x 9)  C
04 de37

EXERCÍCIO 03
Calcular

sen2 (x) cos(x)dx


Solução

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = sen(x)

du
 cos(x)
dx

Logo: cos(x) dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:

u 2 du

u3
sen3 (x)
 u du  3  C  3  C
2

05 de37

EXERCÍCIO 04
Calcular

e



x

x

dxSolução

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
x

Seja u =

1
1
du d  2  1  2 1 1
1


x   x 
Então
dx dx   2
2 1 2 x
 
x2

Logo:

1
2 x

dx = du

Antes da substituição, a função dada será escrita de outra
forma.

06 de37



x

e

x

dx  

e

x

2

1 2 x

dx   2e

1

x

2 x

dx

Assim, a integral dada pode ser escrita como:

1

outramaneira de chegar aqui
sem manipular a função
dada é fazendo (página 08):
1
1
dx  du 
dx  2du
2 x
x

 2e

x

 2e

du  2 e u du  2e u  C  2e

u

2 x

Ou seja:



dx   2e u du

e

x

x

dx  2e

x

x

C

C

07 de37

EXERCÍCIO 05
Calcular

x 2 x  1 dx


Solução

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = x – 1
Logo: dx = du

Se u= x – 1
Então x = u + 1
x2 = (u+1)2
x2 = u2 + 2u + 1

Assim, a integral dada pode ser escrita como:

08 de37

(u2  2u  1) u du

ou:



1
(u 2  2u  1) u 2

1
1
 2 1
du    u u 2  2u u 2  1u 2  du




3
1
 5
   u 2  2u 2  u 2  du





Portanto:

 5
u2




3
 2u 2

1
 u2

5
1
2
u

3
1
2
u

1
1
2
u
 du 
2

C

5
3
1

1
1
1
2
2
2

09 de37

Finalmente:
3
1
7
5
3
 5
2 2 4 2 2 2
  u 2  2u 2  u 2  du  7 u  5 u  3 u  C





Escrevendo em termos de x:

x

7

2

5

3

2
4
2
x  1 dx  (x  1) 2  (x  1) 2  (x  1) 2  C
7
5
3

10 de37

EXERCÍCIO 06
Calcular

x e x dx


Solução

INTEGRAÇÃO POR PARTES
Aintegral dada deve ser escrita na forma

 u dv .

Seja, portanto:

ux

xe

dv  e x dx

Então:

du  dx

x

dx

dv   e x dx  v   e x dx  e x


Deste modo:

xex dx   u dv  uv   v du  xex   e x dx  xex  e x  C

a constante C pode ser
incluída apenas no final.
11 de37

EXERCÍCIO 07
Calcular

x 2 e x dx


Solução

INTEGRAÇÃO POR PARTESSeja:

u  x2

dv  e  x dx

Assim:

du  2x dx

dv   e x dx  v   e x dx  e x

Portanto:

x 2e x dx   u dv  uv   v du  x 2e x   (e x ) 2xdx

12 de37

ou:

x 2e x dx  x 2e x  2 x e x dx


(1)

A última integral é semelhante à original, com a exceção de
que x2 foi substituído por x.
Outra integração por partes aplicada a

x e x dx
...
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