calculo diferencial

Aula: 03
Temática: Teorema Fundamental do Cálculo

Como vimos na aula passada, a integral definida surge da necessidade de encontrarmos a área sob uma curva quando esta não é geometricamente trivial de ser calculada. Na aula de hoje estudaremos o teorema fundamental do cálculo, que faz uma ligação fundamental entre a derivada e a integral e foi estabelecido há mais de 400 anos pelos pais do cálculo, Newton e Leibniz.
Teorema fundamental do cálculo
Se uma determinada função for contínua entre dois limites a e b, então:

b

∫ f ( x )dx = F ( b ) − F ( a ) a Onde F(a) e F(b) são as respectivas antiderivadas de f(x) aplicadas nos pontos b a e b. A função f(x) é então dita integrável entre a e b e a expressão

∫ f ( x )dx

é

a

chamada integral definida entre os limites a e b.

b
A expressão F ( b ) − F ( a ) também pode ser representada como [F ( x )]a .

Exemplos: π a) Calcule

2

∫ cos( x )dx
0

b) Um objeto se move com uma velocidade que varia em função do tempo segundo a expressão v ( t ) = 20 t − 10 , com v em km

h

e t em horas. Calcule o

deslocamento do objeto desde o início do movimento até t = 5 h .

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Solução:
a) Devemos procurar a antiderivada F' ( x ) = f ( x ) aplicada nos pontos 0 e

π
2

.A

função cuja derivada é igual a cos( x ) é F ( x ) = sen( x ) + k e esta função é integrável entre 0 e π π
2

. Assim:

2

π
∫ cos( x )dx = [sen( x )]0

0

2

π 
= ( sen  + k ) − ( sen (0 ) + k ) = 1 − 0 = 1
2

b) Sabemos da Física que a velocidade é a variação da posição em função do tempo, ou v ( t ) =

ds( t )
. Estamos interessados então em encontrar a primitiva dt da função velocidade, que é a função posição. Portanto,

∫ v ( t )dt = s( t ) + k
5

t 2 
∆s = ∫ (20 t − 10 )dt = 20   − 10[t ]5
0
 2 0
0
5

∆s = 200 km

Atividades
4

1) Calcule

1

∫ x 3 ⋅ dx

2

2) Calcule a área sob a curva da