Calculo AV1 Final

Derivada
O conceito de derivada está intimamente relacionado a taxa de variação instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de uma certa população, data de crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ou objetos em movimento, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma função variando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento. Para entendermos como isso se dá, inicialmente vejamos a definição matemática da derivada de uma função em um ponto:
Definição: Se uma função é definida em um intervalo aberto contendo então a derivada de em denotada por , é dada por:

se este limite existir. representa uma pequena variação em x, próximo de ou seja, tomando , a derivada de em pode também se expressa por

Notações:

Interpretação física: a derivada de uma função em um ponto fornece taxa de variação instantânea de em . Vejamos como isso ocorre:
Suponha que seja um função de , ou seja . Se variar de um valor até um valor , representando esta variação de , que também é chamada de incremento de x , por e a variação de é dada por, o que é ilustrado na figura a seguir:

O quociente das diferenças, dado por , é dito taxa de variação media de em relação a , no intervalo . O limite destas taxas médias de variação, quando, é chamado de taxa de variação instantânea de em relação a . Assim, temos:
Taxa de variação instantânea = .
Porem,
Portanto, a taxa de variação instantânea de uma função em um ponto é dada pela sua derivada neste ponto.
Interpretação Geométrica: a derivada de uma função em um ponto fornece o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico de no ponto . Vejamos:
Dada uma curva plana que representa o gráfico de se conhecermos um ponto P, então a equação de reta tangente a curva em é dada