calculo 3

Cálculo 3 -3 semestre de Engenharia Civil/Mecânica
Profa Gisele A A Sanchez- 1º sem. 2014

Aula 2: Gráfico de Funções de Duas Variáveis
O gráfico de uma função fde duas variáveis é o conjunto de todos os pontos ( x, y, z) tais que z = f (x, y). Em geral, o gráfico é uma superfície no espaço 3.
Exemplo: f (x, y) = x2 + y2
Para esboçar o gráfico de f ligamos pontos como para uma função de uma variável. Primeiro fazemos uma tabela de valores para f, atribuindo valores para x e para y, como a seguir:
Tabela de valores de f (x, y) = x2 + y2
(x,y)
-3
-2
-1
0
1
2
3

-3
18
13
10
9
10
13
18

-2
13
8
5
4
5
8
13

-1
10
5
2
1
2
5
10

0
9
4
1
0
1
4
9

1
10
5
2
1
2
5
10

2
13
8
5
4
5
8
13

3
18
13
10
9
10
13
18

Observe a tabela:
Para x = -3 e y = -3, temos: f (-3, -3) = (-3)2 + (-3)2 = 9 + 9 = 18
Representamos num sistema de coordenadas tridimensional,3, todos os pontos obtidos na tabela acima.
Exemplo:( 1,2,5) pois f( 1,2) = 5 ou z = 5; (-3,0,9); (-1,-2,5), (0,0,0) etc.
Obs: O ponto (-5, 1, 10)  ao gráfico da f (x, y) = x2 + y2, pois 10 não é f(-5, 1)
Gráfico: f (x, y) = x2 + y2, Parabolóide z x

y

1

Exemplos de gráficos de outras funções, construídos com auxílio do software gráfico: Winplot
Gráfico de g(x,y) =x2 + y2 + 3

Gráfico de h(x,y) = 5 – x2 – y2

z z x

x

f(x,y) =

y

y

x y
2

2

f(x,y) = 6-2x-3y

z

x

x y f(x,y) = 9  x 2  y 2

y

, semi-esfera de raio 3.

Dom f ={(x,y)  R 2 | x 2  y 2 < 9}

2

Outros gráficos:

Curvas de Nível
A representação de uma função de 2 variáveis por curvas de nível é um método emprestado dos cartógrafos. Consiste num mapa de contorno em que os pontos com elevações constantes são ligados para formar curvas de contorno ou curvas de nível.
Definição: Seja k um número real. Uma curva de nível Ck, de uma função z = f (x, y) é o conjunto de todos os pontos (x, y)  Dom f, tais que f (x,