calculo 3

Gabarito da 1a lista de cálculo III
P1

P2
O ponto Q está mais próximo
O ponto R pertence ao plano yz .

P3
É um plano perpendicular ao plano xy, cuja interseção com o plano xy é a reta x + y = 2.
1

P4
a) Em R2 representa uma reta. Em R3 representa um plano paralelo ao plano yz .

b) Um plano em R3 paralelo ao plano xz , "cortando"o eixo y em y = 3. z = 5 representa um plano em R3 paralelo ao plano xy , "cortando"o eixo z em z = 5.
O par de equações y = 3,z = 5 representa uma reta em R3 paralela ao plano xy com direçaõ dada pelo vetor i passando pelo ponto (0, 3, 5).

P5 x2 + (y − 1)2 + (z + 1)2 = 16.
A interseção é o círculo com centro em (0, 1, −1) e raio igual a 4.
2

P6
(x − 2)2 + (y + 6)2 + (z − 4)2 = 25
Plano xy(z = 0)
(x − 2)2 + (y + 6)2 = 9
É um círculo com centro em (2, −6, 0) no plano xy e raio igual a 3.
Plano xz(y = 0)
Não há interseção com o plano xz .
Plano yz(x = 0) (y + 6)2 + (z − 4)2 = 21
√
É um círculo com centro em (0, −6, 4) no plano yz e raio igual a 21.
P7
a) (x − 3)2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = 25
b) (x − 2)2 + (y + 1)2 + (z − 0)2 = 5
1
1
c) (x − 2 )2 + (y − 1 )2 + (z − 2 )2 = 3
2
4
d) (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 0)2 = 21
4
P8
a)AB = (−4, −2)
d)AB = (−2, 5)

b)AB = (7, 5)
e)AB = (2, 0, −2)

c)AB = (3, −1) f )AB = (0, 2, 3)

P9
a)u + v = (2, −18); 2u + 3v = (1, −42); ||u|| = 13; ||u − v|| = 10
√
√
b)u + v = 5i − j ; 2u + 3v = 11i − 4j ; ||u|| = 17; ||u − v|| = 3 2
√
√
c)u + v = −i + j + 2k ; 2u + 3v = −4i + j + 9k ; ||u|| = 14; ||u − v|| = 82
√
d) u + v = 2i − 2j + 3k ; 2u + 3v = 4i − 2j + 5k ; ||u|| = 6; ||u − v|| = 65
P10
a)− √3 i + √7 j
58
58
b)(− 2 , 1 , 2 )
3 3 3
8
1
c) 9 i − 9 + 4 k
9
3

P11
√
v = 2i + 2 3j
P12
F ≈ 39, 4i + 30, 8j
P13
A direção real é N 48, 5o E e a velocidade é de aproximadamente 241,93 Km/h.
P14
A direção é N 8o W e a velocidade de aproximadamente 35,36 Km/h.
P15
A força na corda maior é T1 ≈ 23, 1i+19, 5j e na corda menor T2 ≈ −23,