Cônicas - Elipse, Hipérbole e Parábola

Páginas: 5 (1102 palavras) Publicado: 20 de julho de 2014


Universidade Estadual do Centro-Oeste – UNICENTRO
Setor de Ciências Exatas e Tecnologia – SEET/G
















Cônicas: Parábola, Elipse e Hipérbole






Trabalho entregue ao professor, na disciplina de Geometria Analítica, para obtenção de nota parcial do 1º semestre.












Guarapuava – PR
Junho/2012
1. Cônicas – Introdução
As cônicas sãocurvas geradas a partir da intersecção de um plano que corta um cone. Existem três tipos de cortes, baseado nos estudos do grego Apolônio (225 A.C.), que os nomeou de elipse, parábola e hipérbole.
Inspirado nos estudos de Apolônio, Pierre de Fermat (1601-1665) estabeleceu o princípio fundamental da Geometria Analítica, segundo o qual uma equação do 1º grau representa, no plano cartesiano, uma retae uma do 2º grau representa uma cônica.



2. Parábola

2.1 Definição e equação reduzida
A parábola é a representação de um plano que corta um dos ramos do cone, paralelo à geratriz. Considerando, em um plano qualquer, um ponto F (foco) e uma reta d que não contém F (diretriz), denominamos os pontos que equidistam de d e F, uma parábola. Conforme a figura a seguir:



Para definirmos aequação de uma parábola de um modo mais simples possível, devemos deixar o eixo x perpendicular a diretriz, contendo o foco. Conforme a figura a seguir:

Sendo p a distância orientada OF, o foco o ponto F (p,0), a diretriz será a reta de equação . Um ponto P (equidistante de F e a diretriz). Se Q (-p, y) é pertencente à perpendicular da diretriz com P, então P estará na parábola se e somente se.
Como e , então .
Simplificando a equação, temos:


Se trocarmos os eixos entre si chegaremos a seguinte equação:






Chegando a seguinte representação gráfica:

2.2 Equação paramétrica

As equações cartesianas canônicas das parábolas se caracterizam por apresentar uma das variáveis no primeiro grau. Isso permite expressar essa variável como dependente da variável dosegundo grau.
Assim, por exemplo, na parábola P de equação cartesiana: . Simplificando: de vértice (a; b) e reta-focal paralela ao eixo OY, escolhendo a variável independente t como sendo x - a, a variável dependente y se expressa como .
Portanto, P tem por equações paramétricas:




2.3 Exercícios

1) Parametrize a parábola .
Solução: Arrumando a equação:
Vemos que P é uma parábola devértice V = (-2;-2) e reta-focal y = -2 paralela ao eixo OX.
Então, como , temos a equação paramétrica:


2) Dada a parábola de equação ache as coordenadas do foco.
Solução: Sendo x o eixo de simetria, então
A equação é da forma . Comparando os coeficientes temos:
, então . Logo o foco será .

3) Dada a parábola com equação . Ache o vértice, o foco, a equação da diretriz e a equação doeixo.
Solução: Reescrevendo a equação na seguinte forma e somando 16 em ambos os lados obtemos:


Logo, o vértice está em (, a equação do eixo é , o foco está em e a equação da diretriz é .








3. Elipse

3.1 Definição e equação reduzida

Dados dois pontos quaisquer do plano F1 e F2 e seja 2c a distância entre eles, elipse é o conjunto dos pontos do plano cuja soma dasdistâncias à F1 e F2 é a constante 2a (2a > 2c).
Elementos da Elipse:


F1 e F2 → são os focos
C → Centro da elipse
2c → distância focal
2a → medida do eixo maior
2b → medida do eixo menor
c/a → excentricidade

Há uma relação entre os valores a, b e c→ a2 = b2+c2

Para definirmos a equação reduzida da elipse, teremos dois casos. Um quando o foco está sobre o eixo x e outro no eixo y,como demonstrado a seguir:


1º Caso: Elipse com focos sobre o eixo x.
Nesse caso, os focos têm coordenadas F1( - c , 0) e F2(c , 0). Logo, a equação reduzida da elipse com centro na origem do sistema cartesiano e com focos sobre o eixo x será:


2º Caso: Elipse com focos sobre o eixo y.

Nesse caso, os focos apresentam coordenadas F1(0 , -c) e F2(0 , c). Assim, a equação reduzida da...
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