Códigos Corretores de Erros

Páginas: 51 (12584 palavras) Publicado: 1 de junho de 2014
Breve introdu¸˜o a Teoria dos
ca `
C´digos Corretores de Erros
o
C´sar Polcino Milies
e
Instituto de Matem´tica e Estat´
a
ıstica
Universidade de Sa˜ Paulo
o
Caixa Postal 66.281, CEP 05311-970
S˜o Paulo, SP - Brasil
a
polcino@ime.usp.br

0

Pref´cio
a

A teoria dos c´digos corretores de erros ´ um t´pico particularmente intero
e
o
essante e muito adequado como objeto deum mini-curso.
Por um lado, ela tem um cunho eminentemente pr´tico. Seu objetivo ´
a
e
criar m´todos que permitam detectar e corrigir erros que eventualmente pose
sam acontecer durante uma transmiss˜o de dados. Hoje, ela encontra aplica¸˜es
a
co
em campos t˜o diversos quanto a telefonia, a produ¸˜o de DVD’s ou o envio de
a
ca
dados desde ve´
ıculos espaciais `s esta¸˜es receptoras naterra.
a
co
Por outro lado, a teoria tem, para os estudosos da ´lgebra, o atrativo de ser
a
um campo de aplica¸˜o de t´cnicas e conceitos originados nos diversos ramos
ca
e
desta ciˆncia. No n´ elementar e introdut´rio em que estas notas foram redigie
ıvel
o
das, a teoria depende apenas de conceitos muito b´sicos de ´lgebra linear e de
a
a
t´cnicas de contagem.
e
Se o leitor seinteressar pelo assunto e decidir aprofundar seus conhecimentos,
ver´, ao continuar seus estudos, que novas ´reas da ´lgebra trazem conribui¸˜es
a
a
a
co
fundamentais. Assim, precisar´ se utilizar, entre outros, de conceitos da teoa
ria de corpos finitos, de an´is de polinˆmios sobre estes corpos, da geometria
e
o
alg´brica e da teoria de grupos.
e
Esperamos que estas notas estimulem oleitor a se aprofundar nestes campos da ´lgebra que s˜o tamb´m interessantes em si mesmos e tem muit´
a
a
e
ıssimas
aplica¸˜es em v´rias outras dire¸˜es.
co
a
co

S˜o Paulo, janeiro de 2011
a

C.P.M.

Cap´
ıtulo 1

Introdu¸˜o
ca
1.1

Um Pouco de Hist´ria
o

A teoria dos c´digos corretores de erros ´ um campo de pesquisa muito ativo
o
e
na atualidade em diversas ´reas doconhecimento: matem´tica, computa¸˜o, ena
a
ca
genharia el´trica e estatist´ entre outras.
e
ıca
Na transmiss˜o de dados, na vida real, `s vezes ocorrem problemas, como ina
a
terferˆncias electromagn´ticas ou erros humanos (por exemplo, erros de digita¸˜o)
e
e
ca
que chamamos de ru´ e que fazem com que a mensagem recebida seja diferıdo
ente daquela que foi enviada. O objetivo da teoria ´desenvolver m´todos que
e
e
permitam detectar e corregir estes erros.
A teoria teve in´
ıcio na d´cada de quarenta quando os computadores eram
e
m´quinas muito caras e apenas institui¸˜es de grande porte como o governo ou
a
co
as universidades tinham condi¸˜es de mantˆ-lo. Eles usando-os para executar
co
e
tarefas num´ricas complexas, como calcular a ´rbita precisa de Marte ou fazere
o
a evalua¸˜o estat´
ca
ıstica de um censo [1].
O Laborat´rio Bell de Tecnologia possuia tais computadores e Richard W.
o
Hamming trabalhava com estas m´quinas em 1947; por´m, para ele o acesso esa
e
tava restrito apenas aos fins de semana. Na ´poca, os programas eram gravados
e
em cart˜es perfurados cuja leitura pelo computador permitia detectar erros de
o
digita¸˜o. Caso um errofosse detectado, a leitura era interrompida e o computaca
dor passava automaticamente a ler o programa do pr´ximo usu´rio. Hamming
o
a
relembra:
Em dois finais de semanas consecutivos eu fui e descobri que todas
minhas coisas tinham sido descarregadas e nada tinha sido feito. Eu
estava realmente aborrecido e irritado porque queria estas respostas e
tinha perdido dois finais de semana. E ent˜oeu me disse “Maldi¸ao,
a

se as m´quinas podem detectar um erro, porque n˜o podemos loa
a
calizar a posi¸˜o do erro e corrigi-lo.” 1
ca
1 R.W.

Hamming, Interview, febrero de 1977 [4].

1

CAP´
ITULO 1. INTRODUCAO
¸˜

2

Esta quest˜o foi crucial para o desenvolvimento dos c´digos corretores de
a
o
erros.
Hamming desenvolveu um c´digo capaz de detectar at´ dois erros e...
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