círculo de Mohr

Resistência dos Materiais XI

CÍRCULO DE
CÍRCULO DE
MOHR
MOHR
PARA
PARA
TENSÕES
TENSÕES

Estado Plano de Tensões
Num certo ponto da superfície de um corpo carregado são conhecidas as tensões em dois planos perpendiculares y σy σx

τyx τxy σx

z σy x

Trace um eixo horizontal para marcar as tensões normais σ

τ

Representação Gráfica das
Tensões no Plano de Mohr σ Trace um eixo vertical para marcar as tensões tangenciais τ

Marque as tensões normais de tração à direita da origem

τ

0

Marque as tensões normais de compressão à esquerda da origem

σ

Marque para CIMA as tensões tangenciais que giram o elemento no sentido
HORÁRIO

τ

σ

0
Marque para BAIXO as tensões tangenciais que giram o elemento no sentido
ANTI-HORÁRIO

Exemplo 1: σx + 50MPa; σy = - 10MPa; τxy = τyx - 40MPa
Plote no plano=σ x τ os valores das tensões apresentadas
-10
τ
40

y x -40
50

50
-40
-10
-10

40

50

σ

Unindo os dois pontos obtém-se a posição do centro do círculo de Mohr σC = ½ (σx + σy) σ τ

40

Observe o
Observe o triângulo triângulo assinalado assinalado

20
-10

40

C

50

σ
Trace o círculo
Trace o círculo com centro em com centro em
C passando
C eepassando pelos dois pelos dois pontos pontos

Os catetos do triângulo valem:

τ

40

τxy = 40 τxy = 40

20
-10

C

50

½ (σ – σ ) = ½ [50-(-10)] = 30 σ ½ (σxx– σyy)= ½ [50-(-10)] = 30 σ 40

σ

A hipotenusa valerá:

τ

40

[ (σ x − σ y )] + τ xy
1
2

2

τxy = 40 τxy = 40

2

30 + 40 > 50
2

2

-10

50
½ (σ – σ ) = ½ [50-(-10)] = 30 σ ½ (σxx– σyy)= ½ [50-(-10)] = 30 σ 40

σ

A hipotenusa é o raio R do Círculo de Mohr

τ σmín= σ R σmín= σcc--R
= -30
= -30

-10

40

40

τmáx = R = 50 τmáx = R ==50
R 50

20

PORTANTO: σmáx= σ + R σmáx= σcc+ R
= 70
= 70

50

σ

As tensões principais ficam assim determinadas:

σp1