cálculo

Páginas: 2 (484 palavras) Publicado: 15 de maio de 2014
MAT-141: 1a Prova - FAU - 26/04/2011 - Prova Tipo A
GABARITO
Quest˜o 1 (2,5 pontos). Considere o pol´
a
ıgono plano ABCDEF GHIJ
representado na Figura 1
B
C
F
G
T


¢

0


 

¢

 
E
¢

 
J
¢
  
¢   
¢   
D
B
¨
¢    ¨¨ E
 

¢  ¨¨
¢ ¨
 
 ¨
¨

I ¢
¢

A

H

Figura 1: Pol´
ıgono com as flechas para determina¸˜o de combina¸˜es lineares.ca
co
Saiba que os lados AB, DE, F G e AJ medem 1 unidade de medida, os
lados BC, CD, EF e IJ medem 2 unidades, e o lado HI mede 3 unidades.
Todos os angulos s˜o retos. Represente os vetoresrepresentados pelas flechas
ˆ
a
−→ −→ −→ −→ −→
− − − −

IC , ID , IE , IF e IG como combina¸oes linerares dos vetores represenc˜
− → −→


tados pelas flechas AB e AJ .
SOLUCAO: Graficamentevemos que:
¸˜
−→

−→

−→

• IC = 1 AJ + 3 AB
−→

−→

−→

• ID = 1 AJ + 1 AB
−→

−→

−→

• IE = 2 AJ + 1 AB
−→

−→

−→

• IF = 2 AJ + 3 AB
−→

−→

−→

•IG = 3 AJ + 3 AB

.

1

Quest˜o 2 (2,5 pontos). Determine vetores w1 e w2 , tais que w =
a
w1 + w2 , w1 tem a mesma dire¸˜o de u e w2 ´ ortogonal a u, sendo que, em
ca
e
uma baseortonormal, w = (1, 0, 5) e u = (2, 2, −3).
SOLUCAO: O vetor w1 ´ a proje¸ao ortogonal de w sobre o vetor u e
¸˜
e

w2 = w − w 1 :
w1 =

w·u
13
= − (2, 2, −3) =
2
u
17

w2 = w − w1 = (1, 0,5) − −



26 26 39
,− ,
17 17 17

26 26 39
,− ,
17 17 17

=

.

43 26 46
, ,
17 17 17

.

Quest˜o 3 (2,5 pontos). Calcule os limites:
a

2x + x2 + 3
a) lim
x→−1
(x2 − 1)2b) lim

x→0

sen (13x)
tg (5x2 − 10x)

SOLUCAO:
¸˜



2x + x2 + 3
2x + x2 + 3 (2x − x2 + 3)

a) lim
= lim
x→−1
x→−1
(x2 − 1)2
(x2 − 1)2 (2x − x2 + 3)
4x2 − x2 − 3
3(x2 − 1)√

= lim
=
x→−1 (x2 − 1)2 (2x −
x2 + 3) x→−1 (x2 − 1)2 (2x − x2 + 3)
1
3
3


= lim
= lim 2
·
2 − 1)(2x −
2 + 3)
x→−1 (x
x→−1 x − 1 2x −
x
x2 + 3

= lim

2

.


...
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