Cálculo - Séries

Páginas: 18 (4287 palavras) Publicado: 9 de agosto de 2013
S É R I E S

INTRODUÇÃO

As séries de potências são úteis tanto na teoria quanto nas aplicações. Elas são utilizadas na solução de vários problemas numéricos, bem como para expressar funções, contribuindo para a sua compreensão. São empregadas também para definir funções difíceis ou impossíveis de serem estudadas na forma analítica. Como exemplo, pode-se citar a integral quenão pode ser expressa através de nenhuma função elementar e que tem fácil solução através de séries de potência. Um exemplo de equação diferencial, cuja solução se torna simples com sua utilização é .
Sua compreensão requer o conhecimento de série infinita, ou simplesmente série que é definida através do conceito de sequência, por onde se inicia este texto.

1. SEQUÊNCIAS
1.1 CONCEITO:Sequência é uma função definida para todo número inteiro positivo n: se a cada inteiro positivo n corresponde um determinado número, que será chamado de , então se diz que os valores formam uma sequência (também conhecida como sucessão). Fazendo analogia com as funções , pode-se escrever: , onde n é a variável livre e a variável dependente. Usualmente, a sequência: é escrita, abreviadamente como ousimplesmente . Exemplo:
a)
b)
c)
Na definição, às vezes se permite que o primeiro valor de n seja zero, como no exemplo: obtendo-se uma sequência igual à do exemplo a, onde o primeiro valor da variável livre é 1.
Os valores da variável dependente são chamados de termos da sequência.
Uma sequência recebe o nome de LIMITADA quando existem dois números A e B tais que , para todo valor de n.O termo A tem o nome de MINORANTE e B, de MAJORANTE. Se a sequência não é limitada, recebe o nome de ilimitada. Os exemplos anteriormente citados são de sequência limitada. Como exemplo de sequência ilimitada, pode-se citar a sequência dos quadrados dos números inteiros positivos, onde o minorante é 1 e o majorante não existe.
Se uma sequência , ou , tem um número ℓ como LIMITE então para cadanúmero positivo E (épsilon) existe um correspondente inteiro positivo N com a propriedade E para todo . Neste caso, escreve-se: ou . Quando existe esse limite, se diz que converge para ℓ. Como exemplo, pode-se citar a sequência:
, cujo limite é 1, pois: que tende a zero quando n tende a , ou: porque quando . Uma sequência convergente é limitada, mas nem toda sequência limitada éconvergente, como por exemplo: . Percebemos que esta é limitada e não convergente.
Podem ser provadas as propriedades: Se e , então: , com a hipótese . Exemplo: sejam e . Tem-se: . Logo, a seqüência converge para 2.
Um exemplo importante é que converge a zero se ou se , fato que será aceito, neste texto, sem demonstração.
Outro exemplo é n!/ nn. Pode-se mostrar que esta sequência tende a zerocom o argumento: n!/nn = (1.2.3.4...n)/n.n.n.n...n = (1/n).(2/n.3/n.4/n...n/n). O primeiro parêntese tende a zero e o segundo é menor que 1. Portanto, este produto tende a zero. Conclui-se, dessa forma, que n!/nn tem limite igual a zero.
Na maioria dos exemplos de convergência , usa-se a ideia intuitiva de que pode ser tomado tão próximo de ℓ quanto se deseja, bastando para isto considerar nsuficientemente grande.
É útil a visualização geométrica. No caso indicado anteriormente , tem-se:




Uma sequência é definida como crescente se: , ou seja, cada termo é maior ou igual ao precedente. Como exemplos podem-se citar: e . Um importante critério de convergência é: “uma sequência crescente converge se e somente se ela é limitada”. Outra forma de expressar: “toda sequência limitadacrescente ou decrescente converge”.

1-2. EXERCÍCIOS:
Verifique se cada uma das sequências converge ou diverge e, se convergir, determine o limite:
1.
2.
3.
4. (1010)!/nn
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
23. √3n + 1 - √2n


18-
19-
20-
21.
22.
24. Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência:
a- {2,4,6,8,..}...
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