Cálculo linha elástica

Páginas: 6 (1490 palavras) Publicado: 9 de agosto de 2012
CÁLCULO DE LINHA ELÁSTICA DE UMA VIGA
MÉTODO DA INTEGRAÇÃO


Dado o carregamento da figura, segue abaixo um exemplo de cálculo da linha elástica.
Utilizar Módulo de Elasticidade E = 207 x 106 N/m2 e Momento de Inércia I = 1020 x 108 mm4











1 – Cálculo das reações de apoio

ΣFy = 0 ( -20 + RB – 30 + RD – 20 = 0 (1)

ΣMB = 0 ( 20 – 30 + RD – 20 = 0 ( RD =30 KN (2)

(2) em (1) ( - 20 + RB – 30 + 30 – 20 = 0 ( RB = 40 KN


2 – Cálculo das equações de Cortante e Momento Fletor por trecho da viga


TRECHO AB ( X de 0 à 4 m)

Cortante ( QAB = - 20 (KN)

M. Fletor ( MAB = - 20X (KN . m)


TRECHO BC ( X de 4 à 8 m)

Cortante ( QBC = - 20 + 40 ( QBC = + 20 (KN)

M. Fletor ( MBC = - 20X + 40 (X – 4) ( MBC = 20X –160 (KN . m)





TRECHO CD ( X de 8 à 12 m)

Cortante ( QCD = - 20 + 40 – 30 ( QCD = - 10 (KN)

M. Fletor ( MCD = - 20X + 40 (X – 4) – 30 (X – 8) ( MCD = -10X + 80 (KN.m)


TRECHO DE ( X de 12 à 14 m)

Cortante ( QDE = - 20 + 40 – 30 + 30 ( QDE = +20 (KN)

M. Fletor ( MDE = - 20X + 40 (X – 4) – 30 (X – 8) + 30 (X – 12) (KN.m)



Equações de Momento Fletor(Resumo)

MAB = - 20X
MBC = 20X – 160
MCD = -10X + 80
MDE = 20X – 280


3 – Cálculo da 1a Integração (inclinação dy/dx da tangente à linha elástica)

Como a Equação diferencial de 2ª Ordem da linha elástica de uma viga deformada é:

[pic]
e C é a constante de integração

Executar a 1a integração por trecho da viga, portanto:



TRECHO AB ( MAB = - 20X ( E I θAB = ( - 20Xdx ( Integrando resulta:

[pic] ( (E I θAB = -10X2 + C1 (Eq1)


TRECHO BC ( MBC = 20X – 160 ( E I θBC =(20X – 160 dx ( Integrando resulta:

[pic] ( E I θBC = 10X2 – 160X + C2 (Eq2)



TRECHO CD ( MCD = -10X + 80 ( E I θCD = (-10X + 80 dx Integrando resulta:

[pic] ( E I θCD = - 5X2 + 80X + C3 (Eq3)


TRECHO DE ( MDE = 20X – 280 ( E I θDE = ( 20X – 280 dx Integrandoresulta:

[pic]( E I θDE = 10X2 – 280X + C4 (Eq4)


4 – Cálculo da 2a Integração (obtém-se a flecha y)

[pic]

e C2 é a constante de integração

Executar a 2a integração por trecho da viga, portanto:


TRECHO AB ( E I θAB = -10X2 + C1 ( E.I.YAB =(-10X2 + C1 dx

[pic] (Eq5)



TRECHO BC ( E I θBC = + 10X2 – 160X + C2 ( E I YBC = (+ 10X2 – 160X + C2

[pic] (Eq6)TRECHO CD ( E I θCD = - 5X2 + 80X + C3 ( E I YCD = ( - 5X2 + 80X + C3 dx

[pic] (Eq7)



TRECHO DE ( E I θDE = +10X2 – 280X + C4 ( E I YDE = (+10X2 – 280X + C4 dx

[pic] (Eq8)
5 – Estipular as condições para resolver as equações e determinar as constantes (Checar o desenho da viga para as condições)













5.1 – Para X = 4 ; E I YAB = 0
5.2 – Para X = 4 ; E I YBC= 0
5.3 – Para X = 12 ; E I YCD = 0
5.4 – Para X = 12 ; E I YDE = 0
5.5 – Para X = 4 ; E I θAB = E I θBC
5.6 – Para X = 8 ; E I θBC = E I θCD
5.7 – Para X = 8 ; E I YBC = E I YCD
5.8 – Para X = 12 ; E I θCD = E I θDE

Substituir 5.1 na Eq5 vem;

[pic] resultando:

Eq9 ( 213,33 = 4C1 + C5


Substituir 5.2 na Eq6 vem;

[pic] resultando:

Eq10 ( 1066,67 = 4C2 +C6


Substituir 5.3 na Eq7 vem;

[pic] resultando

Eq11 ( -2880 = 12C3 + C7




Substituir 5.4 na Eq8 vem;

[pic] resultando

Eq12 ( 14400 = 12C4 + C8


Substituir 5.5 na Eq1 e Eq2 vem;

E I θAB = -10X2 + C1 = E I θBC = 10X2 – 160X + C2

-10 x 42 + C1 = 10 x 42 – 160 x 4 + C2 resultando

Eq 13 ( - 320 = C1 – C2


Substituir 5.6 na Eq2 e Eq2 vem;E I θBC = 10X2 – 160X + C2 = E I θCD = - 5X2 + 80X + C3

10 x 82 – 160 x 8 + C2 = - 5 x 82 + 80 x 8 + C3 resultando

Eq 14 ( 960 = C2 – C3


Substituir 5.7 na Eq6 e Eq7 vem;

[pic]

Eq 15 ( 5120 = 8C2 – 8C3 + C6 – C7


Substituir 5.8 na Eq3 e Eq4 vem;

E I θCD = - 5X2 + 80X + C3 = E I θDE = 10X2 – 280X + C4

- 5 x 122 + 80x12 + C3 = 10 x 122 – 280 x 12 + C4...
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