Cálculo I: Gabarito 1a prova
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13 de abril de 2013, 8h00, Duração: 1h40.Cálculo I: Gabarito 1a prova, Turmas R1, R2, OL.
1. (7pts) Resolva
1 x ≥
1
2−x .
Para começar, observe que é preciso considerar somente mesmo denominador, obtemos
2(x−1) x(x−2) ≥ 0 (1pts).
x = 0, x = 2.
Colocando os termos do mesmo lado e colocando no
Montando uma linha para cada termo que depende de
0
1
x
−
x−1
−
−
x−2
−
−
2(x−1) x(x−2) −
+
2
+
0
+
+
0
+
+
−
−
0
+
Observação: Multiplicar os dois lados da desigualdade por
não é verdade que
2
x(2 − x) ≥ 0
para todo
x.
a desigualdade
Quem fez isso deve ter encontrado a solução errada
2 − x ≥ x é um erro, pois
(−∞, 1]. Neste caso demos
pontos.
f (x) =
2. (8pts) Determine todas as assíntotas de
x2 −7x+10 x2 −2x . A reta
x=2
é assíntota vertical? Justi que.
Procuremos primeiro assíntotas horizontais, calculando limites quando
limx→∞ f (x). Quando x toma valores grandes, os grau 2 que devem ser mais importantes. Portanto,
x
tende a
+∞
Como cada um dos termos
7/x, 10/x2
e
2/x
−∞.
Para começar, calculemos
coloquemos eles em evidência, e simpli quemos:
7
10
7 x2 (1 − x + x2 )
1− x +
= lim
2
2 x→∞ x→∞ x2 (1 − x )
1− x
x→∞
e
termos de grau maior são mais importantes. No caso, são os termos de
lim f (x) = lim
1.
+
0
S = (0, 1] ∪ (2, ∞) (6pts). x(2 − x) para obter
Portanto, o conjunto de soluções da desigualdade é
x,
tende a zero quando
x → ∞,
10 x2 .
o numerador e o denominador ambos tendem a
Logo,
lim f (x) =
x→∞
Portanto,
a reta horizontal de equação
também os termos de grau
2
1
= 1 .(2.5pts)
1
y = 1 é assíntota horizontal (a direita) (0.5pts).
lim f (x) =
x→−∞
x
tende a
−∞,
são
1
= 1.
1
Portanto,
a reta horizontal de equação
verticais.
Para isso, os candidatos só podem vir