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Curso de CNC 1º Semestre de 2005 – Engenharia de Controle e Automação – UD Sorocaba - UNESP

4. Resolução Numérica de Equações (Zero de
Funções)
4.1 Introdução
No exemplo usado na introdução desta apostila, vimos que ao tentar calcularmos a corrente elétrica de um circuito simples contendo apenas uma bateria, um resistor e um diodo, já nos deparamos com um problema matemático de difícil solução.
Esse problema corresponde ao cálculo do valor da corrente i que satisfaz a equação

V  Ri 

 kT  i ln   1  0 q  Is


(4.1)

Em outras palavras, precisamos resolver ou encontrar o zero da função acima.
Neste capítulo iniciaremos o estudo de métodos numéricos que nos permitirão resolver problemas como esse.

4.2 Zeros ou Raízes de Funções
Dada uma função f(x), dizemos que  é raiz, ou zero de f se e somente f()=0.
Graficamente, os zeros de uma função f(x) correspondem aos valores de x em que a função intercepta o eixo horizontal do gráfico, como mostrado na figura 4.1.

g(x)

a

x1

x2

x3

x4

x5

b

x

Figura 4.1 - Interpretação gráfica do zero de uma função.
A função g(x) da figura 4.1 tem 5 raízes no intervalo [a,b]: x1, x2, x3, x4, x5.
Antonio Cesar Germano Martins

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As raízes de uma função podem ser encontradas analiticamente, ou seja, resolvendo a equação f(x)=0 de maneira exata, como mostrado nos exemplos a seguir:

1)

f ( x)  x  3 x  3 é raíz de f ( x ) pois : f (3)  3  3  0

2 ) g ( x ) 

8 x4 3

8
8
12 3 x 4  0  x  4  x 

3
3
8 2
3
x  é a raíz de g ( x) pois :
2
3 8 3 g   .  4  0
2 3 2

3) h( x)  x 2  5 x  6 x 2  5x  6  0
  25  24  1
5 1
2
x1  3 x2  2 tanto x  2 quanto x  3 são soluções de h ( x ) pois : x h (3)  3 2  5.3  6 h (3)  15  15  0

h( 2 )  2 2 - 5.2  6 h( 2)  10 - 10  0

Porém, nem sempre é possível se encontrar analiticamente a raiz de uma função, como nos casos a seguir:

1)

f ( x)  x 3 