biomatemática

Modelo Presa-Predador
Anny Mirleni Almeida Silva - RA: 151542
29 de Outubro de 2013

Modelo de Lotka Volterra
Neste modelo, vamos analisar as iterações entre duas populações (lebre e lince) através do modelo Presa-Predador de Lotka-Volterra. Vamos analisar este modelo, através das seguintes suposições:
i) Presar cresce de forma malthusiana, se não houverem fatores externos; ii) predador depende da presa para sobreviver; iii) mortalidade natural no predador; iv) taxa de predação depende do encontro da presa pelo predador (encontro aleatório); v) a taxa de crescimento do predador é proporcional à taxa de predação.

• Variáveis x - População de Presas. y - População de Predadores.

• Parâmetros a - Taxa de crescimento percapita da presa (1 / tempo). b - Taxa de predação (1 / tempo × predador). c - Taxa de mortalidade percapta do predador (1 / tempo). d - Taxa de crescimento do predador (1 / tempo × presa).
1

• Modelo

 dx


 dt
 dy



dt

1

= ax − bxy = F (x, y)
= − cy + dxy = G(x, y).

(1)

Determinação dos Pontos de Equilíbrio

Para encontrar os pontos de equilíbrio, façamos F (x, y) = 0 e G(x, y) = 0 .
Assim, temos ax − bxy = 0
−cy + dxy = 0

(a − by)x = 0
(−c + dx)y = 0

=⇒

Portanto, encontramos os pontos P1 = (x1 , y1 ) = (0, 0) e P2 = (x2 , y2 ) =
¯ ¯
¯ ¯ c a
,
d b

2

Estudo da Estabilidade

Nesta seção, vamos estudar a estabilidade dos pontos obtidos na seção anterior.
Para isto, obtemos a seguinte matriz Jacobiana do sistema (1)
− bx dx − c

a dy J=

.

Logo, o Jacobiano em P1 = (0, 0) é:

JP1 =

a
0

0
−c

.

Fazendo o cálculo de det(JP1 − λI) = 0 , chegamos que os autovalores da matriz JP1 são λ1 = a e λ2 = −c. Portanto,
P1 é um ponto de sela .
Analogamente, temos que a matriz Jacobiana de P2 =

JP2

 0
=  ad b 2


−bc
d .

0

c a
,
d b

é:

Novamente, se fizermos o cálculo de det(JP2 − λI) = 0 ,
√
chegamos a conclusão