bancada hidráulica

11.5 Derivada Direcional, Vetor Gradiente e Planos
Tangentes
Luiza Amalia Pinto Cant˜ ao Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP [e-mail] Estudos Anteriores
Derivadas parciais: Taxa de varia¸c˜ao de uma fun¸c˜ao em rela¸c˜ao a uma vari´avel. Ou seja, se u = i = 1, 0 , ent˜ao Dif = fx, e se u = j = 0, 1 , ent˜ao Djf = fy .
Regra da Cadeia: Se f (x, y) ´e diferenci´avel, ent˜ao a taxa com que f varia em rela¸c˜ao a t ao longo de uma curva diferenci´avel x = g(t), y = h(t) ´e: df df dx df dy
=
+
.
dx dx dt dy dt
Assim, num ponto P0 qualquer, isto ´e, P0(g(t0), h(t0)), a equa¸c˜ao acima nos d´a a varia¸c˜ao de f em rela¸c˜ao `a t.
Objetivo: Obter uma forma de deriva¸c˜ao em uma dire¸c˜ao qualquer dada por um versor u.

Derivada Direcional no Plano
Suposi¸c˜
oes:
• f (x, y) uma fun¸c˜ao definida numa regi˜ao R do plano xy.
• P0(x0, y0) um ponto de R.
• u = u1i + u2j um versor.
• x = x0 + su1 e y = y0 + su2 s˜ao equa¸c˜oes que parametrizam a reta que passa por P0 paralelamente a u.
• s ´e o comprimento de arco de P0 na dire¸c˜ao u.
Assim, a taxa de varia¸c˜ao de f em P0 na dire¸c˜ao u calculando df /ds ser´a:
Defini¸c˜
ao: A derivada direcional de f em P0(x0, y0) na dire¸c˜ ao do versor u = u1i + u1j ´e o n´umero: df ds

f (x0 + su1, y0 + su2) − f (x0, y0) s→0 s

= lim u,P0 desde que o limite exista.
Nota¸c˜
ao: (Duf )P0 – A derivada de f em P0 na dire¸c˜ao u.

Derivada Direcional no Plano – Graficamente

Taxa de varia¸c˜ao de f na dire¸c˜ao u no Coeficiente angular da curva C em P0 ponto P0 ao longo dessa reta.
´e (Duf )P0 .

Derivada Direcional no Plano – C´alculos
C´
alculo: Considere as retas: x = x0 + su1

e

y = y0 + su2

(1)

passando por P0(x0, y0), parametrizada pelo comprimento de arco s, na dire¸c˜ao u = u1i + u2j.
Se f for diferenci´avel em P0, temos: df ds

= u,P0 =
=

df dx df dx df dx P0

dx
+
ds u1 +

P0

i+