Balanço de massa

Páginas: 11 (2610 palavras) Publicado: 22 de outubro de 2011
Fenômenos de Transporte II

2005

documento 5

Equações do Balanço de massa (Cap. 18 do Bird)
Objetivo: Obter as equações gerais para os balanços de massa e também obter equações simples para situações especiais. A equação de continuidade para uma mistura binária (A+B)
Aplicando a lei de conservação de massa para a espécie A em um elemento de volume DxDyDz fixo no espaço, no qual umamistura binária de A e B está escoando. No elemento de volume, A pode ser produzido por reação química. Façamos rA = taxa de produção de A (massa de A)/(volume.tempo).

z Dy Dz Dx

Coordenadas retangulares
x

y

As contribuições para o balanço de massa são: · Taxa de acúmulo de massa de A no elemento de volume · Entrada de A pela superfície do elemento na posição x · Saída de A pelasuperfície do elemento na posição x+Dx ·

¶r A .Dx.Dy .Dz ¶t

h Ax x .Dy .Dz
h Ax
x + Dx

(direção x)

.Dy .Dz

(direção x)

de maneira análoga, introduzimos os termos de entrada e de saída nas direções y e z..
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Fenômenos de Transporte II

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documento 5

·

Taxa de produção de A por reação química.

r A .Dx.Dy .Dz

æ massa de A ö æ taxa de A entrando ö æ taxa de A ö ç ÷ç ÷ ç ÷ ç acumulando no ÷ = ç - taxa de A saindo ÷ + ç produzida por ÷ ç elemento DxDyDz ÷ ç nas 3 direções ÷ ç reação química ÷ è ø è ø è ø
¶r A .Dx.Dy .Dz = h A x - h A x + Dx .Dy .Dz + h A y - h A y + Dy .Dx.Dz + ¶t + h A z - h A z + Dz .Dx.Dy + r A .Dx.Dy .Dz Þ

(

(

)

)

(

)

Þ

expandindo-se os termos na série de Taylor, aplicando-se o limite

para

Dx,Dy,Dz ® 0 edividindo-se a expressão por dx.dy.dz, ficamos com:

¶r A æ ¶n Ax ¶n Ay ¶n Az +ç ç ¶x + ¶y + ¶z ¶t è
notação vetorial

ö ÷ = rA ÷ ø

Equação de continuidade para o componente A

¶r A + Ñ.n A = r A ¶t

analogamente

¶r B + Ñ.nB = rB ¶t

Para massa total (mA + mB)

¶r + Ñ · n = r A + rB ¶t

Onde:

n = n A + nB = r.v r A = -rB

Pela lei de conservação de massa

\

¶r + Ñ · rv =0 ¶t

para corrente total do fluido

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Fenômenos de Transporte II

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para r=constante

Þ

Ñ ·v = 0

ou

æ ¶v x ¶v y ¶v z ö ç ÷ ç ¶x + ¶y + ¶z ÷ = 0 ø è

Desenvolvimento semelhante para unidades molares RA = taxa molar de produção de A por unidade de volume CA = concentração molar NA = Fluxo molar

¶C A + Ñ.N A = R A ¶t

analogamente

¶CB + Ñ · N B =RB ¶t

Para massa total (mA + mB)

¶C + Ñ · N = R A + RB ¶t
Obs: como moles em geral não são conservados RA ¹ RB

¶C + Ñ · C.v * = R A + RB ¶t
________________________

Representações dos fluxos nA e NA por expressões envolvendo gradientes de concentração.

¶r A + Ñ · nA = rA ¶t

onde

n A = w A (n A + nB ) - r.D AB .Ñ · w A

\
obs.

¶r A + Ñ · w A (rv ) - Ñ.r.D AB Ñ.w A = rA ¶t
wA r = rA

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Fenômenos de Transporte II

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documento 5

¶r A + (Ñ · r A .v ) = (Ñ.r.D AB Ñ.w A ) + r A ¶t
analogamente

*

eq. 18.1-14

¶C A + (Ñ · C A .v * ) = (Ñ.C.D AB Ñ.x A ) + R A ¶t

*

eq. 18.1-15

Estas equações descrevem perfis de concentração em sistemas binários. As restrições são: ausência de difusão térmica, de pressão e forçadas. Simplificações: (re DAB) constantes Divergente do gradiente (Laplaciano)

¶r A + r A .(Ñ · .v ) + (v .Ñ.r A ) = D AB Ñ 2r A + r A ¶t Ñ·v = 0 se r constante Þ
dividindo-se a expressão por MA, onde CA = rA/MA

¶C A + vÑ · C A = D AB Ñ 2C A + R A ¶t
Tabela 18.2.2 do Bird.

Eq. 18.1-17

normalmente usada para difusão em solução líquida diluída a T,P constante. Vide

C e DAB constantes

¶C A + (Ñ · C A .v* ) = (Ñ.C.D AB Ñ.x A ) + R A ¶t ¶C A + C A (Ñ · .v * ) + v * (Ñ · .C A ) = D AB Ñ 2 .C A + R A ¶t
¶C + (Ñ · Cv * ) = R A + RB ¶t
Ñ.v* = 1 (R A + R B ) C

e sendo

Þ

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¶C A C A (R A + RB ) + v * Ñ · .C A = DAB Ñ 2 .C A + R A + C ¶t ¶CA C + v * Ñ · .CA = DABÑ2.CA + RA - A (RA + RB ) eq. 18.1-19 ¶t C
Se RA = -RB a equação...
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