autovalores
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AUTOVALORES,AUTOVETORES E BASE.EXERCÍCIOS:
Lembrar que: Autovetores de A associados a autovalores distintos são linearmente independentes. 1) Ache os autovalores e autovetores ,se possível:
a) A = 2 0 0
0 1 0
0 0 2
b) B = 2 1 -1
0 1 1
0 0 2
c) A= 0 -1
1 0
2)Ache os autovalores e os autovetores e uma base de autovetores para as matrizes
a) A= 4 5
2 1
b) A = 3 0 -4
0 3 5
0 0 -1
RESPOSTAS:
1) a)Primeiro achar os autovalores:
|A-λI | = det
2-λ 0
0
0 1- λ 0
0
0 2-λ
= (2-λ)(1-λ)(2-λ) = 0
Segundo,achar os autovetores:
* para λ=2
N(A-2I) ={ x E R³; (A-2I)x =0}
=> λ3=λ1=2
e
λ2=1
0 0 0
0 -1 0
0 0 0
*
x1 x2 x3
=
0
0
0
=>
x2=0,para todo x1,x3 E R
N(A-2I)={ (x1,0,x3) = x1(1,0,0)+ x3(0,0,1) }= [(1,0,0) , (0,0,1)]
*para λ=1
N(A-I)={ x E R³; (A-I)x=0}
1 0 0
0 0 0
0 0 1
x1 x2 x3
*
0
0
0
=
=> x1=0 e x3=0
N(A-I)={ (0,x2,0) = x2(0,1,0); x2 E R}=[0,1,0)]
b) Autovalores:
| B-λI |= det 2-λ 1
-1
0
1-λ 2-λ
0
0 2-λ
= (2-λ)(1-λ)(2-λ) = 0
=>
λ1=λ3=2
e λ2=1
autovetores:
*para λ=1
1 1 -1
0 0 1
0 0 1
N(B-I) = {x E R³;(B-I)x=0 }
*
x1 x2 x3
=
0
0
0
=>
x1+x2-x3=0 x3=0 => x1=-x2 e x3=0 para todo x2 E R
N(B-I)= { (-x2,x2,0) = x2(-1,1,0) ; x2 E R }=[(-1,1,0)]
*para λ=2
N(B-2I) = { x E R³; (B-2I)x=0 }
0 1 -1
0 -1 1
0 0 0
x1 x2 x3
*
=
0
0
0
=>
x2-x3=0
-x2+x3=0
=> x2=x3 para todo x3,x1 E R
N(B-2I)= { (x1,x3,x3) = x1(1,0,0) + x3 (0,1,1) ; x1,x3 E R }=[(1,0,0) , (0,1,1)]
c) autovalores:
| A- λI | = det -λ 1
1 -λ
= λ²+1=0
=> λ²= -1
=> λ= +- ( λ)¹/²
=> λ1=i e λ2=-i
Não tem autovalores reais => Não preserva a direção de nenhum vetor do R² .
2) a) autovalores:
| A-λI | = det 4-λ 5
2 1-λ
= (4-λ)(1-λ)-10=0
=> λ²-5λ-6=0 => λ1=-1 e λ2=6
autovetores:
*para λ= -1
5 5
2 2
N(A+I) = { x E R²; (A+I)x=0 }
* x1 = 0 x2 0
=> 5x1+5x2=0 => x1+x2=0 => x1=-x2 para todo x2 E R.
2x1+2x2=0
2x1+2x2=0
N(A+I)= { (-x2,x2) = x2(-1,1) ; x2 E R² }=[(-1,1)]
*para λ= 6
N(A-6I) = {x E R², (A-6I)x=0 }
-2 5 * x1 = 0
2 -5 x2 0
=> -2x1+5x2=0
2x1-5x2=0
=> x1= 5/2 x2 para