AulaCircunferencia

COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ

Portal Professor /Cônicas - Circunferência - 2009

SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA

www.cap.ufrj.br/matematica

Cônicas - Circunferência
Considere um plano, uma distância r e um ponto C neste plano.

Circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão a uma mesma distância r, chamada de raio, de um ponto fixo C, denominado centro da circunferência, ou seja, qualquer ponto P que atender à condição d(P, C) = r pertencerá à circunferência.
Elementos da Circunferência:
•

C: centro

•

r: raio

Dedução da equação reduzida da circunferência com centro fora da origem:
Considere P=(x,y) e C=(h, k).

CP = r
CP = P − C = (x, y) - (h,k)=(x-h, y-k)

( x − h)

+ (y − k ) = r

2





( x − h)

2

( x − h)

2

( x − h)

2

+ ( y − k ) = r2
2

2

2

2 
+ ( y − k )  = r2


+ ( y − k ) = r2
2

Equação reduzida da circunferência com centro fora da origem.

Dedução da equação geral da circunferência:
Para obtermos a equação geral da circunferência, basta desenvolvermos a equação reduzida.

( x − h)

2

+ ( y − k ) = r2
2

x2 − 2xh + h2 + y2 − 2yk + k 2 = r2 x2 + y2 − 2xh − 2yk + h2 + k 2 = r2

x2 + y2 − 2xh − 2yk + h2 + k 2 = r2

Equação geral da circunferência.

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Exemplo 1: Achar a equação geral da circunferência que passa pelos pontos (4,2), (-6,-2) e tem centro sobre o eixo OY.
Temos que a equação reduzida da circunferência é ( x − h) + ( y − k ) = r 2 ,
2

2

onde C=(h,k) é o centro da mesma. Como o centro pertence ao eixo y, o mesmo é da forma C=(0,k).
Portanto, a equação fica na forma x2 + ( y − k ) = r 2
2

Assim, chamando A=(4,2) e B=(-6,-2), temos:
Para A=(4,2): 42+ ( 2-k ) =r 2 ∴ 16+4-4k+k 2=r 2 ∴ 20-4k+k 2=r 2 (1)
2

Para B=(-6,-2): (-6 ) + (-2-k ) =r2 ∴ 36+4+4k+k 2=r 2 ∴ 40+4k+k 2=r 2 (2)
2

2

-5
2
Daí, substituindo o valor de k encontrado em (1), segue:
Subtraindo (2) de