AULA8 centro de gravidade mass centroide e Teorema de Pappus 1

CENTRO DE GRAVIDADE,
CENTRO DE MASSA E
CENTRÓIDE – CAP 5 LIVRO
-EMBORA TRABALHEMOS COM FORÇAS
CONCENTRADAS, AS FORÇAS SÃO, DE
FATO, DISTRIBUÍDAS.
EXEMPLOS:
- PNEU APOIADO SOBRE
SUPERFÍCIE;
- BILHA APOIADA SOBRE
SUPERFÍCIE PLANA;
- FORÇAS REATIVAS SOBRE UM
MANCAL

AS FORÇAS PODEM TER DISTRIBUIÇÃO:
- LINEAR: NESTE CASO A FORÇA É EXPRESSA EM N/m;
- AO LONGO DE ÁREA OU SUPERFICIAL: EXEMPLO É A
PRESSÃO DE ÁGUA SOBRE A PAREDE DA REPRESA. É EXPRESSA
EM FORÇA POR UNIDADE DE ÁREA (TENSÃO QUANDO É
EXERCIDA EM SÓLIDOS; PRESSÃO EM LÍQUIDOS E GASES);
- VOLUMÉTRICA; EXEMPLO É A FORÇA GRAVITACIONAL
ATUANDO SOBRE UMA MASSA. É EXPRESSA EM N/m3

SE SUSTENTARMOS UM CORPO POR UMA CORDA, COMO MOSTRADO, NAS
FIGURAS ACIMA, AS FORÇAS PESO E TRAÇÃO DO CABO SERÃO COLINEARES.
AS LINHAS DE AÇÃO DESTAS FORÇAS SERÃO CONCORRENTES EM UM PONTO
“G” QUE CHAMAREMOS CENTRO DE GRAVIDADE.

A DETERMINAÇÃO DO PONTO “G” SERÁ OBTIDA PELO PRINCÍPIO DOS
MOMENTOS, OU SEJA, O SOMATÓRIO DOS MOMENTOS DE CADA PESO
INFINITESIMAL dW, (SOMA DO PESO PELA SUA DISTÂNCIA A QUALQUER
EIXO), TEM QUE SER IGUAL AO MOMENTO DA RESULTANTE (NO CASO O PESO
TOTAL DO CORPO), MULTIPLICADO PELA DISTÂNCIA DESTA AO MESMO EIXO.
DESTA FORMA, PARA O MOMENTO CALCULADO EM RELAÇÃO AO EIXO y,
PODEMOS ESCREVER: ∫x dW = x W. DE FORMA ANÁLOGA PARA OS OUTROS
EIXOS:

ONDE x,y e z , DEFINEM A
POSIÇÃO DE G EM RELAÇÃO
AOS EIXOS x,y e z.

SE A GRAVIDADE ATUANDO SOBRE TODOS OS ELEMENTOS DO
CORPO FOR CONSTANTE, PODEMOS ESCREVER:
W=mg . ASSIM AS EQUAÇÕES ANTERIORES SE REDUZIRÃO A:

AS EQUAÇÕES ACIMA SÃO AS COMPONENTES DA
FORMA VETORIAL:

SE A MASSA ESPECÍFICA DO CORPO FOR
CONSTANTE, PODEMOS ESCREVER: m = ρ dV. NESTE CASO AS EQUAÇÕES
FICARÃO:

AS EQUAÇÕES ANTERIORES QUE ENVOLVEM MASSA E VOLUME, DETERMINAM
O CHAMADO CENTRO DE MASSA. A EQUAÇÃO ENVOLVENDO PESO
DETERMINA O CHAMADO CENTRO DE GRAVIDADE.

NÃO TEM SENTIDO FALAR EM CENTRO DE GRAVIDADE FORA DE UM SISTEMA
GRAVITACIONAL. O CENTRO DE MASSA SEMPRE EXISTIRÁ.
EM DINÂMICA UTILIZAREMOS COM FREQUENCIA O