Aula De Quadricas

NOTAS DE AULA DE ALCV

Profª Drª Ana Paula Marins Chiaradia

• A equação geral do 2º grau nas três variáveis x, y e z: ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + mx + ny + pz + q= 0 com pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f ≠ 0, representa uma superfície quádrica ou simplesmente uma quádrica. • Desta equação pode derivar:
Uma cônica, quando a superfície quádrica for cortada por um plano.
Ex: plano xy (z=0) ax2 + by2 + 2dxy + mx + ny + q =0
• A interseção de uma superfície com um plano é chamado traço da superfície no plano.

• a) Elipsóides
• b) Hiperbolóides

Hiperbolóides de uma folha
Hiperbolóides de duas folhas

• c) Cones
• d) Parabolóides
• e) Cilindro

elíptico hiperbólico • Se nenhum dos coeficientes for nulo, a equação padrão de uma superfícies quádrica centrada é: x2 y 2 z 2
±
±
±
=1
2
2
2
a b c

• Desta equação podem ser originadas três superfícies, de acordo com a variação dos sinais (+,+,+), (+,+,-) e (+,-,-):
– Elipsóide
(+,+,+)
– Hiperbolóide
(+,+,-)
– Hiperbolóide de duas folhas (+,-,-)

• Todos os coeficientes na equação são positivos e a, b e c são positivos: x2 a 2

+

y2 b 2

+

z2 c 2

=1

Denomina-se Elipsóide, já que seus traços são elipses:
Se x = 0
Se y = 0
Se z = 0

y2 b 2

x2 a 2

x2 a 2

+
+
+

z2 c 2

z2 c 2

y2 b 2

= 1 elipse
= 1 elipse
= 1 elipse

Elipsóide de revolução quando pelo menos dois dos valores de a, b ou c são iguais.
Ex: a = c = 2, b = 4 e
C (0,0,0) x2 y2 z2
+
+
=1
4 16 4

Quando a = b= c: neste caso a equação tem a forma: x2 + y2 + z2 = a2, isto é, uma superfície esférica de C(0,0,0) e raio a.
Se a = b = c e centro (h,k,l),
(x-h)2 + (y-k)2 + (z-l)2 = a2

x2 y2 z2
+
+
=1
4
16
9

(OLSVäLGH GH U HY R OX Ø Ô R 

6 X SHU I Þ F LH X VD GD SD U D GHI LQ LU R I R U P D W R GD 7 HU U D  J HäLGH
HäLGH

A partir da equação inicial: ±

x2 a 2

±

y2 b 2

±

z2 c 2

=1

deriva-se o hiperbolóide de uma folha, com dois coeficientes positivos e um negativo. x2 a

2

+

y2 b 2

−

z2 c 2

=1