Aula 9 Derivadas Parte I C Pia

Derivada - Aula 1
C´
alculo Diferencial
Professora: Silvia Gon¸calves Santos
A Reta Tangente
Vamos definir a inclina¸c˜ ao de uma curva y = f (x) para, em seguida, encontrar a equa¸c˜ao da reta tangente ` a curva num ponto dado.
Seja y = f (x) uma curva definida no intervalo (a, b).

Sejam P (x1 , y1 ) e Q(x2 , y2 ) dois pontos distintos da curva y = f (x).
Seja s a reta secante que passa pelos pontos P e Q. Considerando o triˆangulo retˆangulo P M Q na figura acima, temos que a inclina¸c˜ ao da reta s (ou coeficiente angular de s) ´e:

Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em dire¸c˜ao a P . Diante disto, a
` medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P , a inclina¸c˜ inclina¸c˜ ao da reta secante s variar´
a. A ao da secante varia cada vez menos, tendendo para um valor limite constante.

Esse valor limite ´e chamado inclina¸c˜ ao da reta tangente `a curva no ponto P , ou tamb´em inclina¸c˜ao da curva em P .
Defini¸
c˜ ao 1 Dada uma curva y = f (x), seja P (x1 , y1 ) um ponto sobre ela. A inclina¸ca
˜o da reta tangente
`
a curva no ponto P ´e dada por m(x1 ) = lim

Q→P

f (x2 ) − f( x1 )
∆y
= lim
,
x
→x
∆x x2 − x1
2
1

quando esse limite existe.
Fazendo x2 = x1 + ∆x, podemos reescrever o limite (1) na forma
1

(1)

m(x1 ) = lim

∆x→0

f (x1 + ∆x) − f (x1 )
.
∆x

(2)

Conhecendo a inclina¸c˜ ao da reta tangente `a curva no ponto P , podemos encontrar a equa¸c˜ao da reta tangente ` a curva em P .
Defini¸
c˜ ao 2 (Equa¸ c˜ ao da Reta Tangente)
Se a fun¸ca
˜o f (x) ´e cont´ınua em x1 , ent˜ ao a reta tangente ` a curva y = f (x) em P (x1 , f (x1 )) ´e:
(i) A reta que passa por P tendo inclina¸c˜ ao f (x1 + ∆x) − f (x1 )
,
∆x→0
∆x

m(x1 ) = lim

se este limite existe. Neste caso, temos a equa¸c˜ ao y − f (x1 ) = m(x − x1 ).
(ii) A reta x = x1 se f (x1 + ∆x) − f (x1 )
∆x→0
∆x

m(x1 ) = lim for infinito.

Exemplo 3 (i) Encontre a inclina¸c˜ ao da reta tangente ` a curva y = x2 − 2x + 1 no ponto (x1 , y1 ).

2

(ii) Encontre a equa¸c˜
ao