Aula 6 imprimir

Equa¸c˜oes Lineares de Segunda Ordem

Uma equa¸c˜ao diferencial linear de segunda ordem tem a forma

C´alculo III
P(x)
Edezio Pantoja

dy d 2y
+ Q(x)
+ R(x)y = G (x)
2
dx dx (1)

onde P,Q, R e G s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas. No caso G (x) = 0, para todo x, dizemos que a equa¸c˜ao (1) ´e uma equa¸c˜ao diferencial linear homogˆenea de segunda ordem.

Aula 6 - EDO de Segunda Ordem

15 de junho de 2014
P(x)

dy d 2y
+ Q(x)
+ R(x)y = 0 dx 2 dx (2)

Se G (x) = 0 para algum x, a equa¸c˜ao (1) ´e n˜ao homogˆenea.

Edezio (Aula 6 - EDO de Segunda Ordem)

15 de junho de 2014

C´ alculo III

1/9

Edezio (Aula 6 - EDO de Segunda Ordem)

15 de junho de 2014

C´ alculo III

Equa¸c˜oes Lineares Homogˆeneas de Segunda Ordem

Solu¸c˜ao Geral

Teorema: Se y1 (x) e y2 (x) s˜ao solu¸c˜oes da equa¸c˜ao linear homogˆenea (2) e c1 e c2 s˜ao constantes quaisquer, ent˜ao a fun¸c˜ao

Teorema: Se y1 e y2 s˜ao duas solu¸c˜oes independentes da equa¸c˜ao (2), ent˜ao a solu¸c˜ao geral ´e dada por

y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x)

y (x) = c1 y1 (c) + c2 y2 (x)

´e tamb´em uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (2).
Demonstra¸c˜
ao: Uma vez que y1 e y2 s˜ao solu¸c˜oes da equa¸c˜ao (2), temos
P(x)y1′′
P(x)y2′′

+
+

Q(x)y1′
Q(x)y2′

+ R(x)y

= 0

+ R(x)y

= 0

onde c1 e c2 s˜ao constantes arbitr´arias.
Defini¸c˜
ao: Dizemos que duas fun¸c˜oes y1 , y2 ∈ C 1 s˜ao linearmente independente se seu wronskiano
W (x) = W [y1 , y2 ](x) =

Temos das regras de diferencia¸c˜ao que:
P(x)y ′′ + Q(x)y ′ + R(x)y =
′′

= P(x)(c1 y1′′ + c2 y2′′ ) + Q(x)(c1 y1′ + c2 y2′ ) + R(x)(c1 y1 + c2 y2 )
= c1 [P(x)y1′′ + Q(x)y1′ + R(x)y ] + c2 [P(x)y2′′ + Q(x)y2′ + R(x)y ]

= 0.

ay ′′ + by ′ + cy = 0,

= c1 (0) + c2 (0) = 0.

(3)

onde a, b e c s˜ao constantes e a = 0.

Assim, y = c1 y1 + c2 y2 ´e uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (2).
C´
alculo III

y1 (x) y2 (x) y1′ (x) y2′ (x)

Em geral, n˜ao ´e f´acil encontrar solu¸c˜oes particulares para uma equa¸c˜ao linear de segunda ordem. Mas ´e sempre poss´ıvel fazer isso se as fun¸c˜oes coeficientes P,