Aula 04 ADM Mat

- Função Derivada. Representando a taxa de variação da função f(x) com respeito à variável x, definimos a derivada de f(x) em relação a x por f'(x) = .
- Tabela 6.2 Valores de f'(a) para f(x) = x². a 1
2
3
4
5
6
7 f'(a) 2
4
6
8
10
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Para a função f(x) = x², especulamos a partir dos resultados obtidos na Tabela 6.2, que a função derivada é dada por f'(x) = 2x. A partir da definição de função derivada, vamos verificar se tal função realmente representa a derivada da produção ou, em outras palavras, vamos calcular algebricamente a derivada de f(x) = x².
Pela definição f'(x) = .
Aplicando a função em (x + h) e em x f'(x) = ; f'(x) = ; f'(x) =
Colocando h em evidência e cancelando-o f'(x) = ; em tal limite, quando h 0, temos (2x + h) = 2x, então f'(x) = = 2x
Concluímos que, de fato, f'(x) = 2x.
Problema exemplo:
Na comercialização de um componente químico líquido, utilizado na fabricação de sabão e detergente, a receita R para a venda da quantidade q é dada por R(q) = 5q², onde a receita é dada em reais (R$) e q quantidade é dada em litros (l).
a) Determine a taxa de variação média da receita para o intervalo 4. Qual é o seu significado gráfico?
Solução: Temos que taxa de variação média = ou
TVM de R(q) p/4 =
Graficamente, representa a inclinação da reta secante , onde A = (4; R(4)) = (4; 80) e B = (6; R(6)) = (6; 180).
Fazer gráfico.

b) Determine, numericamente, a taxa de variação instantânea da receita para q = 1.
Solução: A taxa de variação instantânea para q = 1 é dada por:
TVI de R(q) (p/ q = 1) = f'(x) =
Para calcular tal taxa, vamos estimar os limites laterais de acordo com a tabela a seguir. h =
-0,1

9,5
-0,01

9,95
-0,001

9,995
0,1

10,5
0,01

10,05
0,001

10,005 Pelos resultados obtidos na tabela, assumiremos que os limites laterais valem 10 e então podemos concluir que
TVI de R(q) (em q = 1) = = 10.
c) Determine a derivada da receita em q = 1. Qual a unidade de medida dessa derivada?
Solução: Queremos R'(1) e, como a derivada da