ATPS

Equações Diferenciais
Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ...,y(n) é chamada uma equação diferencial de ordem n. DEFINIÇÃO: Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação). CLASSIFICAÇÃO
EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO): Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente. EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL (EDP): Envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente. ORDEM: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.
Exemplos:
y' = 2x tem ordem 1 e grau 1 y"+x2(y')3 - 40y = 0 tem ordem 2 e grau 3 y"'+x2y3 = x.tanx tem ordem 3 e grau 3
RESOLUÇÃO
A solução de uma equação diferencial é uma função que não contém derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equação dada (ou seja, a função que, substituída na equação dada, a transforma em uma identidade).
Ex: Equação diferencial ordinária: = 3x2 - 4x + 1 dy = (3x2 - 4x + 1) dx dy = 3 x2dx - 4 xdx + dx + C y = x3 - 2x2 + x + C (solução geral) Uma solução particular pode ser obtida da geral através, por exemplo, da condição y(-1) = 3
(condição inicial) 3 = -1 - 2 - 1 + C seta.gif (302 bytes)C = 7 seta.gif (302 bytes) y = x3 - 2x2 + x + 7 (solução particular)
Observação: Em qualquer dos dois casos, a prova pode ser feita derivando a solução e, com isso, voltando à equação dada.
As soluções se classificam em:
Solução geral - apresenta n constantes independentes entre si (n = ordem da EDO). Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas C, 2C, C2, lnC,
Solução Particular - Obtida da geral, mediante condições dadas (chamadas condições iniciais ou condições de