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Cap´ ıtulo 19
Fun¸˜es Inversas e suas Derivadas co 19.1

Motiva¸˜o ca Muitas obras de arte expostas em museus precisam ser protegidas por medidas de seguran¸a especiais para impedir atos de vandalc ismo. Suponha que se deseja colocar uma corda de isolamento paralela ` parede onde um quadro famoso est´ exposto. Calcule a a o ˆngulo α de vis˜o de um observador junto ` corda em fun¸˜o da a a a ca distˆncia x da corda ` parede. Considere que a altura m´dia (a) a a e dos visitantes ´ de 1,70 m, a distˆncia da base do quadro ao solo e a
(b) ´ de 2,70 m e que a altura do quadro (c) ´ de 3 m, conforme e e mostra o esquema ao lado.

c

α

d

β

b

a x Este c´lculo ´ importante para se determinar a distˆncia da corda de isolamento que permita um ˆngulo m´ximo a e a a a de vis˜o ao observador. a De acordo com o nosso conhecimento de fun¸˜es trigonom´tricas, as grandezas est˜o relacionadas pelo seguinte co e a sistemas de equa¸˜es co tg(α + β) = tg(β) =

c+d x d x Para resolver o problema proposto, ´ necess´rio determinar o valor de um ˆngulo sabendo-se o valor do seu seno e a a ou do seu cosseno ou a da sua tangente, isto ´, conhecendo-se x encontrar α, tal que, por exemplo, sen(α) = x. Isto e equivale a achar uma fun¸˜o g tal que g(x) = α. ca Em muitas situa¸˜es pr´ticas, como a do problema anterior, ´ preciso refazer uma seq¨encia de passos desfazendo co a e u o que foi feito em cada etapa, na ordem inversa. A seguir s˜o dados outros exemplos em que este procedimento ´ a e usado: e u e e
1. Qual ´ o n´ mero que multiplicado por cinco e somado com trˆs ´ igual a 18?
2. Qual ´ o n´ mero positivo que elevado ao quadrado ´ igual a 4? e u e 3. Se um trem se movimenta com velocidade constante v em um trecho reto de uma estrada de ferro, sua posi¸˜o ca em cada instante de tempo t ´ dada pela equa¸˜o s = v t + s0 , onde s0 representa a posi¸˜o do trem no momento e ca ca em que se