Atps matemática 1º semestre

SEGUNDO DESAFIO
ETAPA 1
PASSO 1
O conceito de derivada está intimamente ligado à ideia de limite, pela relação chamada limite da razão incremental, apresentada abaixo: df/dx= lim┬(∆x→o)⁡[(f(x+∆x)- f(x))/∆x]
(o limite da razão entre a diferença da função f no ponto x+∆x e no ponto x pela variação de x, ∆x, quando ∆x tende a zero)
Toda a derivada é um limite, onde a variação dos x é infinitésima ( infinitamente pequena, tendendo a zero), ou seja, muitissímo pequena, assim, a variação de y é igualmente minúscula.

Tomemos como exemplo a função polinomial f(x) = x² + 3x - 1,vamos calcular a sua derivada pela regra enunciada acima, verifiquemos o limite de sua razão incremental: vamos chamar ∆x de h para resumir lim┬(h→o)⁡[(x+h)² +3(x+h) -1 -(x² + 3x - 1)]/h vamos simplificar a equação interna:

[(x+h)² +3(x+h) -1 -(x² + 3x - 1)]/h
[x²+2xh+h² +3x+3h - 1 -x² -3x +1]/h
(2xh + h² + 3h)/h
2x + h + 3

Agora fazemos: lim┬(h→o)⁡(2x + h + 3)
Ora,quando o valor de h tende a zero, o limite tende a 2x + 3. Esse resultado é justamente a derivada da função f(x) no ponto de abcissa x do plano cartesiano.
Uma função só é derivável em um ponto quando existe o limite de razão incremental neste, quando não, diz-se que a função não é derivável em tal ponto e a representação da função derivada dessa outra função tem um ponto em aberto aí, ou intervalo em aberto em seu conjunto imgem .

Seja [pic]uma sequência de números reais. A expressão: [pic] significa que, quanto maior o valor i, mais próximo de L serão os termos da sequência. Neste caso, dizemos que o limite da sequência é L.
A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, deve ser interpretada como um desafio. O desafiante propõe quão perto de L os termos da sequência devem chegar, e o desafiado deve mostrar que, a partir de um certo valor de i, os termos realmente estão perto de L.
Ou seja, qualquer que seja o intervalo em torno de L (dado, pelo desafiante, por exemplo, pelo intervalo aberto