Atps de calculo ii

´ CALCULO II - AULA 07: DERIVACAO IMPL´ ¸˜ ıCITA (PLT - P´g. 120) a

Exemplo de fun¸˜o y = f (x) expl´ ca ıcita e impl´ ıcita:

Expl´ ıcita: y = x2 + 3x + 1 (y est´ “isolada”) a 2 2 Impl´ ıcita: x + y = 4

dy nas fun¸˜es impl´ co ıcitas? dx 1) Derivar ambos os membros da equa¸˜o em rela¸˜o a x. ca ca 2) Explicitar y na equa¸˜o resultante. ca Como encontrar a derivada y = 1−y x−1 x+6 x−1

Exemplo 1 xy − 6 = y + x =⇒ y + xy = y + 1 =⇒ y (x − 1) = 1 − y =⇒ y =

Verifica¸˜o: xy − 6 = y + x =⇒ xy − y = x + 6 =⇒ y (x − 1) = x + 6 =⇒ y = ca Pela Regra do Quociente, y = (x − 1) − (x + 6) (x − 1)
2

=

−7 (x − 1)

2.

x+6 1− 1−y −7 x − 1 = (x − 1 − (x + 6)) = As respostas s˜o equivalentes: y = a = 2 2 x−1 x−1 (x − 1) (x − 1) Exemplo 2 x2 y − 6 = 5y 3 + x =⇒ 2xy + x2 y = 15y 2 y + 1 =⇒ x2 − 15y 2 y = −2xy + 1 =⇒ y = −2xy + 1 x2 − 15y 2

Exemplo 3 (PLT - P´g. 120) A equa¸˜o x2 + y 2 = 4 representa um c´ a ca ırculo de raio 2. √ x2 + y 2 = 4 ⇒ y 2 = −x2 + 4 ⇒ y (x) = ± −x2 + 4

x 0 1 √ 3 2

y ±2 √ ± 3 ±1 0

Derivando em x a express˜o x2 + y 2 = 4 utilizando a Regra da Cadeia, tem-se a 2x + 2yy = 0 =⇒ x + yy = 0 =⇒ yy = −x =⇒ y = − x y

A derivada y depende tanto de y como de x porque para cada x h´ dois valores diferentes de y e, lembrando que a derivada a num ponto ´ a inclina¸˜o da reta tangente, a curva tem inclina¸˜o diferente em cada y. e ca ca Exemplo 4 Ache uma equa¸˜o da reta tangente ` curva x3 + y 3 = 9, no ponto (1, 2). ca a −3x2 x2 1 1 = − 2 =⇒ y (1, 2) = − (inclina¸˜o) =⇒ y = − x + b. ca 3y 2 y 4 4

3x2 + 3y 2 y = 0 =⇒ y =

1 9 A reta passa no ponto (1, 2) =⇒ 2 = − + b =⇒ b = . Logo, y = −1/4x + 9/4 ou 4y + x − 9 = 0 . 4 4

√ Exerc´ ıcio 1 Seja x2 + y 2 = 4 (y ≥ 0). Calcular a equa¸˜o da reta tangente a esta curva no ponto 1, 3 . ca Exerc´ ıcio 2 (PLT - P´g. 121) Encontre dy/dx. Suponha que a, b e c s˜o constantes. a a 2) x2 + xy − y 3 = xy 2 4) √ x+ √ y = 25

5) xy − x − 3y − 4 = 0 6) 6x2 + 4y 2 = 36 8) ln x + ln y 2 = 3 9) ex