atps de algebra

Páginas: 6 (1358 palavras) Publicado: 18 de março de 2014





SANTA BÁRBARA D’OESTE
2014








ALGEBRA LINEAR

ATPS: Matrizes e Determinantes

Disciplina: Álgebra Linear

Profº. ROGÉRIO PIZZINATTO

SUMÁRIO




















1. Introdução

Matriz e determinantes são conteúdos estudados dentro de matemática, mas abordados em vários outros ramos, como na informática, engenharia. O estudo dosdeterminantes depende do conhecimento prévio sobre matrizes.

De uma forma geral podemos dizer que matriz é um conjunto de elementos organizados em linhas e colunas. O número de linhas é representado por m e o número de colunas é representado por n, essas quantidades devem ser maiores ou iguais a um.


DEFINIÇOES

MATRIZES
Matrizes são objetos matemáticos organizados em linhas e colunas. Cada um dosseus elementos tem dois índices (ai j). O primeiro índice i indica à linha e o segundo índice j a coluna.O número de linhas e colunas que uma matriz tem chama  dimensão da matriz. A matriz ao lado tem m linhas e n colunas e dizemos que ela tem dimensão   m x n (m por n) e a representamos por A = (ai j) m x n.  
Uma representação genérica de matriz é mostrada em seguida:


DETERMINANTESDeterminante é uma matriz quadrada representada de uma forma diferente, pois calculamos o seu valor numérico, o que não acontece com a matriz. Nela aplicamos as quatro operações, ou seja, somamos, multiplicamos, dividimos, subtraímos obtendo outra matriz.De fato é um tipo de matriz, mas essa deverá ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas, que é chamada de matriz quadrada. Nele nãoaplicamos as quatro operações, mas tem suas propriedades, como achar o valor numérico de um determinante.



Propriedades
   Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição:
a) comutativa: A + B = B + A
b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)
c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n
d) elemento oposto: A + ( - A) =(-A) + A = 0
CURIOSIDADES SOBRE MATRIZ


Foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e sairam da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, 1826 : tableau ( = tabela ).
O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome einiciou a demonstrar sua utilidade.


Operações com Matrizes (matriz transposta, adição, subtração, oposta)

Por Thyago Ribeiro
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Matriz transposta
Dada uma matriz A do tipo m x n, chama-se transposta de A e indica-se por At a matriz que se obtém trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas de A. A operação de obtenção de uma matriz transposta de A é denominada transposição damatriz. Observe o exemplo:

Note que A é do tipo 3 x 2 e At é do tipo 2 x 3 e que, a matriz transposta , a primeira linha corresponde à primeira coluna da matriz original e a segunda linha à segunda coluna, também da matriz original.
Igualdade de matrizes
Duas matrizes, A e B, serão iguais se forem do mesmo tipo e se os elementos correspondentes forem iguais. Assim, se A=(aij) e B=(bij) sãomatrizes do tipo m x n, então:

Exemplo: determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais

Solução:

Adição de matrizes
Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B.

Exemplo: Dada as matrizes A e B determine A+B.

Solução:


Propriedades da adição
Sendo A, B, C e O(matriz nula)matrizes de mesmo tipo e p, q ∈ R, valem as propriedades:
- Comutativa: A+B = B+A
- Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C
- Elemento neuto: A+O = O+A = A
Matriz oposta
Chama-se matriz oposta de A a matriz –A, cuja soma com A resulta na matriz nula. Exemplo:
Dada a matriz:

A oposta de A será

pois:

Subtração de matrizes
Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz diferença (A-B)...
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