Atividades autodesenvolvimentp

Cap´ıtulo 4
Capacitˆancia
4.1 Capacitores e Capacitˆancia
• O capacitor ´e um aparelho eletrˆonico usado para armazenar energia el´etrica.
• Consiste de dois condutores com um isolante entre eles. Os condutores tˆem carga ±Q, o que estabelece uma diferen¸ca de potencial V entre eles.
• Fato emp´ırico: Q / V , e a constante de proporcionalidade C ´e a capacitˆancia:
Q = CV (4.1) ou similarmente C = Q/V .
• Unidade de Capacitˆancia: C/V = F (Farad)
4.1.1 Capacitor de Placas Paralelas
Figura 4.1: Capacitor de placas paralelas.
(Serway)
Para um capacitor de placas paralelas, podemos aproximar o campo como o de duas placas infinitas, i.e. E = σ/ǫ0 (cada placa contribuindo com E = σ/2ǫ0). Usando a Lei de Gauss
Q = ǫ0 I ~E · d~A = ǫ0 I EdA = ǫ0EA (4.2) e a diferen¸ca de potencial V = V+ − V− fica
V = −Z +
−
~E· d ~l
= Z −
+
Edl = Ed (4.3)
Portanto,
C =
Q
V
=
ǫ0EA
Ed
= ǫ0A d
(4.4)
37
38 CAP´ITULO 4. CAPACIT ˆ ANCIA
4.1.2 Capacitor Cil´ındrico
Figura 4.2: Capacitor cil´ndrico. (Serway)
Para um capacitor cil´ındrico, similarmente a uma linha de carga infinita, temos
Q = ǫ0 I ~E · d~A = ǫ0 I EdA = ǫ0EA = ǫ0E(2πrL) ! E =
Q
2πǫ0Lr
(4.5)
e a diferen¸ca de potencial:
V = −Z +
−
~E
· d~l = Z −
+
Edr = Z b a  Q
2πǫ0Lrdr =
Q
2πǫ0L lnb a (4.6)
Portanto,
C =
Q
V
= 2πǫ0
L
ln(b/a)
(4.7)
4.1.3 Capacitor Esf´erico
Figura 4.3: Capacitor esf´erico.
(Halliday)
Para um capacitor esf´erico
Q = ǫ0 I EdA = ǫ0E(4πr2) ! E =
Q
4πǫ0r2 (4.8) e a diferen¸ca de potencial:
V = Z −
+
Edr = Z b a  Q
4πǫ0r2dr =
Q
4πǫ0 1 a −
1
b
=
Q
4πǫ0
b − a ab (4.9)
Portanto,
C =
Q
V
= 4πǫ0 ab b − a
(4.10)
4.2. COMBINAC¸ ˜AO DE CAPACITORES 39
4.2 Combina¸c˜ao de Capacitores
Quando temos uma combina¸c˜ao de capacitores conectados, ´e conveniente definir uma capacitˆancia equivalente, que imaginariamente poderia substituir os capacitores, com todos os seus efeitos no circuito. 4.2.1 Capacitores em Paralelo
Para