Atividade

Atividade à distância 3 1. Verificar quais dos subconjuntos seguintes são subespaços vetoriais, relativamente às operações usuais de adição e multiplicação por escalar. (valor: 3 pontos ). a) S = {(x,y)/x + 3y = 0}, em relação ao R2. S é subespaço
b) S = {(x,y)/y = x + 1}, em relação ao R2. S não é subespaço
c) S = {(x,y,z)/xy = 0}, em relação ao R3.
d) S = {(4t,2t,-t); t  R}, em relação ao R3.
1. O primeiro fato importante a destacar sobre combinações lineares é que elas são resultados das operações com vetores, definidas no espaço vetorial: adição e multiplicação por um escalar. Vamos observar esse fato.
Considere os vetores v
1
= (1, 3), v
2
= (0, 0), v
3
= (−1, 2) e v
4
= (1, 0).
a) Obtenha o vetor w1
= 3v
1 − 2v
4
;
b) O vetor w2
= (−3, −4) pode ser obtido a partir dos vetores v
1
, e v
3
? Se sim, escreva a correspondente combinação linear, se não, diga por que;
c) Obtenha o mesmo vetor w2 como combinação linear dos vetores v
1
e v
4
;
d) O vetor w2 pode também ser obtido como combinação linear de v
1
e v
2
? Por quê?
e) E se usamos os vetores v
1
, v
2
e v
3
, podemos obter w2
?
f) O vetor v
2
, vetor nulo, traz alguma colaboração para a formação de novos vetores?
Justifique.
g) Que combinação linear de vetores não nulos, resulta no vetor nulo? Dê um exemplo usando os vetores v
1
, v
2
, v
3
e v
4
.
2. Outra questão, muito importante, está relacionada com combinações lineares. Analisemos o primeiro item da questão anterior. Quando escrevemos a combinação linear w1
= 3v
1 −
2v
4 estabelecemos uma relação de dependência linear entre os vetores w1
, v
1
e v
4
, que pode ser expressa de outras formas.
a) Escreva v
1
como combinação linear de w1 e v
4
;
b) Escreva v
4
como combinação linear de w1 e v
1
;
c) Por isso, dizemos que os vetores w1
, v
1
e v
4
são LD, linearmente dependentes, ou que o conjunto {w1
, v
1
, v
4
} é LD;
d) Complete a frase que