Atividade referente à pesquisa sobre divisão de polinômios por x-a, teorema do resto, teorema de d’alembert, briot-ruffini & divisão por (x-a)

Páginas: 5 (1038 palavras) Publicado: 30 de setembro de 2012
Nome: _____________________________________________ Nº ________

Instituição: _____________________________________________________



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Turma: _________________________

Professor (A): _________________________

Disciplina: Matemática

São Paulo.

2012

[pic],

Como regra geral a divisão de um polinômio [pic] (definido como numerador) por umpolinômio [pic] (definido como denominador) segue o mesmo esquema da multiplicação, dividindo elemento por elemento do primeiro pelo segundo. Só que nesse caso o resto de cada divisão deve ser somado aos elementos de mesmo grau do numerador antes da próxima divisão do elemento seguinte.

Uma dos algoritmos utilizados é o método da chave:

[pic]

Descrição: divide-se a parcela [pic] do numerador pelaprimeira parcela do denominador [pic] obtendo-se [pic]. Ao se multiplicar a parcela [pic] por todos as parcelas do denominador [pic] e invertendo-se o sinal de cada parcela obtém-se [pic] que somado ao numerador resulta em [pic]. Repetindo-se a mesma operação novamente obtém-se o resultado [pic] com o resto [pic].
Considere dois polinômios, A(x) e B(x), sendo B(x) um polinômio não identicamentenulo. Ao dividir A(x) por B(x) encontramos outros dois polinômios Q(x) e R(x), tais que:
[pic]
Onde:
A(x) é o dividendo
B(x) é o divisor
Q(x) é o quociente
R(x) é o resto da divisão
Note que:
1) O grau de Q(x) é igual à diferença dos graus de A(x) e de B(x);
2) O grau do resto R(x), para R(x) não-nulo, será sempre menor que o grau do divisorB(x);
3) Se a divisão é exata, o resto R(x) énulo, ou seja, o polinômio A(x) é divisível pelo polinômio B(x).
[pic]

O teorema do resto define que a divisão de um polinômio [pic] pelo binômio do tipo [pic] tem como resto

[pic].

Exemplo: o polinômio do exemplo anterior [pic] foi dividido por [pic] que possui a = 1 e b = -2 então:


|[pic] |


Oresto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x – a) é p próprio valor numérico do polinômio para x = a, que indicamos por P(a).
De acordo com esta definição, temos:
[pic]
Onde R(x) = k (constante), pois o grau de (x – a) = 1
[pic]
Logo: R(x) = P(a)
Exemplo 2: O resto da divisão do polinômio [pic]  pelo binômio (x – 2) é dado pelo valor numérico do polinômio P(x)para x = 2, ou seja, para x igual à raiz do binômio:
[pic] 
Logo, o resto é R(x) = 27
[pic]
O teorema de D’Alembert é uma consequência imediata do teorema do resto, que são voltados para a divisão de polinômio por binômio do tipo x – a. O teorema do resto diz que um polinômio G(x) dividido por um binômio x – a terá resto R igual a P(a), para x = a. O matemático francês D’Alembertprovou, levando em consideração o teorema citado acima, que um polinômio qualquer Q(x) será divisível por x – a, ou seja, o resto da divisão será igual à zero (R = 0) se P(a) = 0. 
Esse teorema facilitou o cálculo da divisão de polinômio por binômio (x –a), dessa forma não sendo preciso resolver toda a divisão para saber se o resto é igual ou diferente de zero. 
Exemplo : 
Calcule o restoda divisão (x2 + 3x – 10) : (x – 3). 

Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa divisão será igual a: 

P(3) = R 
32 + 3 * 3 – 10 = R 
9 + 9 – 10 = R 
18 – 10 = R 
R = 8 
Portanto, o resto dessa divisão será 8. 

Exemplo 2:
Verifique se x5 – 2x4 + x3 + x – 2 é divisível por x – 1. 

Segundo D’Alembert, um polinômio é divisível por um binômio se P(a) = 0. 

P(1) = (1)5 –2*(1)4 + (1)3 + (1) – 2 
P(1) = 1 – 2 + 1 + 1 – 2 
P(1) = 3 – 4 
P(1) = – 1 

Como P(1) é diferente de zero, o polinômio não será divisível pelo binômio x – 1. 

Exemplo 3:
Calcule o valor de m de modo que o resto da divisão do polinômio 
P(x) = x4 – mx3 + 5x2 + x – 3 por x – 2 seja 6. 

Temos que, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6 

P(2) = 24 – m*23 + 5*22 + 2 – 3 
24 – m*23 +...
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