AS SÉRIES DE FOURIER - Calculo de Coeficiente

Páginas: 11 (2571 palavras) Publicado: 27 de agosto de 2014
AS SÉRIES DE FOURIER
ÍNDICE:
1 - Fourier e suas séries maravilhosas.
2 - O que é uma série de Fourier.
3 - Valores médios de funções.
4 - Calculando os coeficientes de uma série de Fourier.
5 - Um exemplo prático: a onda quadrada.
6 - Pacotes de onda.
1 - Fourier e suas séries maravilhosas.
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) viveu na época de Napoleão, para quem trabalhou naFrança e no Egito ocupado pelos franceses. Mas, seu nome foi imortalizado pelas séries trigonométricas que introduziu em 1807 e até hoje deslumbram os matemáticos, físicos, estatísticos e engenheiros. Essas séries são uma verdadeira dádiva para quem precisa descrever uma função mais ou menos complicada em uma forma simples de visualisar e manipular.
J. B. Joseph Fourier
A história das séries deFourier ilustra como a solução de um problema físico acaba gerando novas fronteiras na matemática. Fourier foi levado a desenvolver suas séries ao estudar a propagação de calor em corpos sólidos. Admitindo que essa propagação deveria se dar por ondas de calor e levando em conta que a forma mais simples de uma onda é uma função senoidal, Fourier mostrou que qualquer função, por mais complicada que seja,pode ser decomposta como uma soma de senos e cossenos. Para falar a verdade, a matemática de Fourier era meio capenga, sem o rigor que era exigido por seus contemporâneos como Lagrange e Laplace. Assim mesmo, ele conseguiu o apoio e admiração desses gigantes, além de obter resultados que escaparam pelos dedos de outros gênios como Bernouilli e Euler.
2 - O que é uma série de Fourier.
Todo alunode segundo grau conhece as funções trigonométricas, seno, cosseno, tangente etc. A figura ao lado mostra o familiar gráfico da função sen(x), onde x é um ângulo medido em radianos.
Essa função é PERIÓDICA, isto é, sua forma se repete a cada PERÍODO. No caso dessa figura, a função seno se repete a cada período de 2. O valor máximo da função, chamado de AMPLITUDE, é 1.
A função cosseno também éperiódica, com o mesmo período e amplitude que o seno, mas é deslocada de /2 em relação ao seno.
Isso é fácil de constatar examinando os gráficos. Tecnicamente, diz-se que as funções seno e cosseno diferem na FASE e a diferença de fase entre elas é de /2.
Na figura ao lado, vemos a soma (curva em vermelho) das funções sen(x) e cos(x). Essa curva é obtida traçando-se, em cada ponto x, a soma dosvalores de sen(x) e cos(x) nesse ponto. Por exemplo, o ponto da curva na região x=5,5 é zero pois o valor de sen(x) é igual e de sinal oposto ao valor de cos(x) nesse ponto. Verifique a situação para outros pontos da curva para treinar pois as séries de Fourier são composições de muitas curvas tipo seno e cosseno, como veremos.
Uma função periódica pode ser bem mais complicada que uma senóide. Vejao exemplo da função f(x) mostrada na figura ao lado. Essa curva também é periódica mas, não é apenas um seno ou um cosseno. Como achar uma função matemática que descreva uma curva como essa?
Foi isso que Fourier descobriu, no início do século 19. Segundo ele, qualquer função periódica, por mais complicada que seja, pode ser representada como a soma de várias funções seno e cosseno comamplitudes, fases e períodos escolhidos convenientemente.
Existem alguns requisitos para que essa afirmação seja totalmente verdadeira. Mas, eles são tão poucos e especializados que podemos ignorá-los nesse relato simplificado.
A figura ao lado mostra a mesma curva da figura acima juntamente com duas funções seno e duas funções cosseno. A curva original é a soma dessas 4 funções, como você pode verificarcom alguma paciência. Note que as amplitudes e períodos das ondas componentes são diferentes entre si.
Matematicamente, a decomposição da função f(x) na curva acima é a seguinte:
Em resumo, qualquer função f(x) pode, segundo Fourier, ser escrita na forma da soma de uma série de funções seno e cosseno da seguinte forma geral:
Os pontinhos nessa equação indicam que os termos tipo seno e...
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